¿Puede una partícula cuántica relativista estar completamente confinada en un agujero finito?

Question

¿Puede una partícula cuántica relativista estar completamente confinada en un agujero finito?

fausto vezzaro

Si escribimos la ecuación de Klein-Gordon de esta forma

C^{2} ℏ^{2} \nabla^{2} Ψ = ℏ^{2} \ddot{Ψ} + 2 i ℏ (tu - metro C^{2}) \dot{Ψ} + tu (2 metro C^{2} - tu) Ψ

$\begin{equation*} c^2 \hbar^2 \nabla^2 \Psi = \hbar^2 \ddot{\Psi} + 2i\hbar (U - mc^2) \dot{\Psi} + U (2mc^2 - U) \Psi \end{equation*}$ tenemos una agradable sensación de continuidad desde el tratamiento no relativista al relativista de la partícula cuántica (utilizamos el formalismo de Schrödinger, y para obtener las soluciones NR solo tenemos que poner

c \to \infty

$c\to\infty$ ). La ecuación (no invariante de Lorentz) debe manejarse con cuidado porque las manipulaciones que usé para obtenerla incluyeron la conservación de la energía al cuadrado, por lo que también podemos obtener soluciones falsas. Pero creo que para las partículas de espín cero funciona, porque lo encontré en la página 42 de la Mecánica cuántica relativista de Wachter (escrito de forma ligeramente diferente).

Si suponemos que $|\Psi|^2$ es estacionario (es decir, la solución tiene la forma $\Psi (\mathbf{r},t) = \psi (\mathbf r) e^{Ct}$ con $C$ puramente imaginaria) la ecuación toma la forma independiente del tiempo:

- C^{2} ℏ^{2} \nabla^{2} Ψ = [{tu}^{2} - 2 (mi + metro C^{2}) tu + {mi}^{2} + 2 mi metro C^{2}] Ψ

$\begin{equation*} -c^2 \hbar^2 \nabla^2 \Psi = [U^2 - 2(E+mc^2)U + E^2+2Emc^2] \Psi \end{equation*}$ (si te interesan las pruebas busca sr.pdf en mi Home Page, no transcribo aquí porque, más que una pregunta, esto debería convertirse en un artículo)

Mi pregunta:

Supongamos que usamos esta ecuación con un agujero monodimensional finito:

tu (X) = {\begin{cases} - V_{0} & si - a < X < a \\ 0 & si | X | > a \end{cases}

$\begin{equation*} U(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -V_0 & \quad \textrm{if }-a<x<a\\ 0 & \quad \textrm{if }|x|>a \end{array} \right. \end{equation*}$ En la región interna

Ψ

$\Psi$ es sinusoidal (con la condición no restrictiva

E > - V_{0}

$E>-V_0$ ), pero en la región externa obtenemos

Ψ^{″} = k^{2} Ψ; k = \frac{\sqrt{- mi (mi + 2 metro C^{2})}}{C ℏ}

$\begin{equation*} \Psi'' = k^2 \Psi ;\qquad k = \frac{\sqrt{-E (E + 2 mc^2)}}{c \hbar} \end{equation*}$ Si

- 2 m c^{2} < E < 0

$-2mc^2 <E <0$ ,

k \in R^{+}

$k \in \mathbb{R}^+$ , de lo contrario

k

$k$ es puramente imaginaria, la función de onda es sinusoidal y la normalización es imposible. No es de extrañar que para

E > 0

$E>0$ no tenemos estados estacionarios con ese agujero finito, pero:

que pasa con el caso $E<-2mc^2$ ? ¿Qué significa?

La única interpretación razonable que encontré es que, en este caso, la partícula está totalmente confinada en el agujero. - ¿Esto esta mal?

Trimok

Su ecuación de Klein-Gordon, en presencia de potencial no es correcta, es ((

\hat{E} - \hat{U})^{2} - {\hat{P}}^{2} - m^{2}) ψ = 0

$\hat E - \hat U)^2 - \hat P^2 - m^2) \psi=0$

fausto vezzaro

Mi ecuación es la de Wachter con V=U-mc^2, pero excepto en este caso, realmente nunca encontré la ecuación de KG escrita con potencial, ni el mío ni el tuyo. ¿Puede decirme más acerca de su ecuación KG? ¿Qué es la P? ¿Dónde puedo encontrar esta forma de escribir la ecuación KG?

Trimok

{\hat{P}}^{i}

$\hat P^i$ es el operador de cantidad de movimiento

(- i ℏ \frac{\partial}{\partial x^{i}})

$(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial{x^i}})$ , y

{\hat{P}}^{2} = \sum_{i} {\hat{P}}^{i} {\hat{P}}^{i}

$\hat P^2 = \sum\limits_i \hat P^i \hat P^i$ es el operador de norma al cuadrado, es decir

(- ℏ^{2} \nabla^{2})

$(-\hbar^2 \nabla^2)$ . Para la ecuación de Klein-Gordon con potencial, consulte, por ejemplo, ecuaciones

(45), (46)

$(45), (46)$ página

7

$7$ en este papel En el papel,

U = e ϕ

$U=e\phi$ es la energía potencial electromagnética.

fausto vezzaro

Me temo que estamos usando dos formalismos diferentes, y no sé el tuyo (con 4 vectores). Ahora me voy: intentaré reflexionar sobre lo que escribiste.

fausto vezzaro

Si en mi ecuación estacionaria reemplazas

U

$U$ con

U + m c^{2}

$U+mc^2$ , y establecer

c = 1

$c=1$ , obtienes tu ecuación. A pesar de dos opciones diferentes en la unidad y en la puesta a cero

U

$U$ , escribimos lo mismo. Pero la elección de

U = 0

$U=0$ no debería jugar ningún papel. Si sumamos arbitrariamente

ξ

$\xi$ a

U

$U$ en el agujero finito anterior, con mi ecuación encontramos la condición de normalización

ξ - 2 m c^{2} < E < ξ

$\xi - 2mc^2 <E<\xi$ , mientras usamos tu encontramos

ξ - 2 m c^{2} < E - m c^{2} < ξ

$\xi - 2mc^2 <E - mc^2<\xi$ . Pero en tu ecuación

E

$E$ es la energía relativista total, por lo que nuestras condiciones de normalización son las mismas: si el agujero es suficientemente profundo (y grande), el confinamiento parece posible.

Trimok

la energia total

E

$E$ (en mis convenciones) es ciertamente positivo. Entonces, con tus convenciones (creo que tomas

E^{'} = E - m c^{2}

$E' = E- mc^2$ ), tienes necesariamente

E^{'} \geq - m c^{2}

$E' \geq - mc ^2$

fausto vezzaro

Estoy confundido. Si tu

E

$E$ es

E_{0} + K + U

$E_0+K+U$ y

U

$U$ depende arbitrariamente de la

U = 0

$U=0$ elección, ¿por qué no puede ser negativa? Además, la condición de normalizabilidad implica la diferencia entre la

ξ

$\xi$ energía correspondiente a la región externa y la energía total

E

$E$ . ¿Por qué, con un agujero lo suficientemente profundo (y lo suficientemente grande como para que el estado fundamental tenga una

K

$K$ ) esta diferencia no puede ser mayor que

m c^{2}

$mc^2$ ?

fausto vezzaro

Podemos reorganizar mi pregunta de esta manera (no importa si en nuestra ecuación lo que llamamos

E

$E$ incluir o no descansar energía): ¿es cierto que si el agujero es más profundo que

metro C^{2} (1 + \sqrt{1 + {(\frac{h}{4 a metro C})}^{2}})

$mc^2 \left( 1 + \sqrt{ 1+\left( \frac{h}{4amc} \right)^2 } \right)$ ¿Hay un número finito de estados estacionarios para los cuales la función de onda está completamente confinada en el hueco? (por ejemplo, si el agujero tiene un tamaño de 2 fm y usamos masa de electrones, el agujero tiene que tener una profundidad de al menos 310,4719 MeV)

Respuestas (1)

¿Puede una partícula cuántica relativista estar completamente confinada en un agujero finito?

Su ecuación de Klein-Gordon, en presencia de potencial no es correcta, es (( $\hat E - \hat U)^2 - \hat P^2 - m^2) \psi=0$
Mi ecuación es la de Wachter con V=U-mc^2, pero excepto en este caso, realmente nunca encontré la ecuación de KG escrita con potencial, ni el mío ni el tuyo. ¿Puede decirme más acerca de su ecuación KG? ¿Qué es la P? ¿Dónde puedo encontrar esta forma de escribir la ecuación KG?
$\hat P^i$ es el operador de cantidad de movimiento $(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial{x^i}})$ , y $\hat P^2 = \sum\limits_i \hat P^i \hat P^i$ es el operador de norma al cuadrado, es decir $(-\hbar^2 \nabla^2)$ . Para la ecuación de Klein-Gordon con potencial, consulte, por ejemplo, ecuaciones $(45), (46)$ página $7$ en este papel En el papel, $U=e\phi$ es la energía potencial electromagnética.
Me temo que estamos usando dos formalismos diferentes, y no sé el tuyo (con 4 vectores). Ahora me voy: intentaré reflexionar sobre lo que escribiste.
Si en mi ecuación estacionaria reemplazas $U$ con $U+mc^2$ , y establecer $c=1$ , obtienes tu ecuación. A pesar de dos opciones diferentes en la unidad y en la puesta a cero $U$ , escribimos lo mismo. Pero la elección de $U=0$ no debería jugar ningún papel. Si sumamos arbitrariamente $\xi$ a $U$ en el agujero finito anterior, con mi ecuación encontramos la condición de normalización $\xi - 2mc^2 <E<\xi$ , mientras usamos tu encontramos $\xi - 2mc^2 <E - mc^2<\xi$ . Pero en tu ecuación $E$ es la energía relativista total, por lo que nuestras condiciones de normalización son las mismas: si el agujero es suficientemente profundo (y grande), el confinamiento parece posible.
la energia total $E$ (en mis convenciones) es ciertamente positivo. Entonces, con tus convenciones (creo que tomas $E' = E- mc^2$ ), tienes necesariamente $E' \geq - mc ^2$
Estoy confundido. Si tu $E$ es $E_0+K+U$ y $U$ depende arbitrariamente de la $U=0$ elección, ¿por qué no puede ser negativa? Además, la condición de normalizabilidad implica la diferencia entre la $\xi$ energía correspondiente a la región externa y la energía total $E$ . ¿Por qué, con un agujero lo suficientemente profundo (y lo suficientemente grande como para que el estado fundamental tenga una $K$ ) esta diferencia no puede ser mayor que $mc^2$ ?
Podemos reorganizar mi pregunta de esta manera (no importa si en nuestra ecuación lo que llamamos $E$ incluir o no descansar energía): ¿es cierto que si el agujero es más profundo que $metro C^{2} (1 + \sqrt{1 + {(\frac{h}{4 a metro C})}^{2}})$ $mc^2 \left( 1 + \sqrt{ 1+\left( \frac{h}{4amc} \right)^2 } \right)$ ¿Hay un número finito de estados estacionarios para los cuales la función de onda está completamente confinada en el hueco? (por ejemplo, si el agujero tiene un tamaño de 2 fm y usamos masa de electrones, el agujero tiene que tener una profundidad de al menos 310,4719 MeV)

fausto vezzaro · Answer 1

Si suponemos que $\Psi$ está confinado debemos tener $\Psi=0$ en la región externa, por lo que en la frontera de la región interna debemos tener $\Psi=0$ y $\frac{d\Psi}{dx}=0$ . Pero con nuestro piso $U$ , la ecuación de KG estacionaria dice que $\Psi$ es sinusoidal o exponencial, por lo que estos requisitos no pueden cumplirse simultáneamente. Conclusión: el encierro de $\Psi$ es imposible (simplemente, estados estacionarios con $E<-2mc^2$ son imposibles).

¿Puede una partícula cuántica relativista estar completamente confinada en un agujero finito?

fausto vezzaro

Trimok

fausto vezzaro

Trimok

fausto vezzaro

fausto vezzaro

Trimok

fausto vezzaro

fausto vezzaro

Respuestas (1)

fausto vezzaro

¿Podemos derivar la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación de Klein-Gordon?

Límites utilizados para encontrar el límite no relativo de la ecuación de Klein-Gordon

Interpretación física de la carga conservada de la ecuación de Klein-Gordon

¿Por qué la relación de dispersión de De Broglie no contiene un término constante?

¿Por qué la ecuación de Klein Gordon es de segundo orden en el tiempo?

¿Por qué la ecuación de Schrödinger no es relativista?

Conjunto completo y ecuación de Klein-Gordon

¿Qué tiene de malo la versión de la raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon?

¿La ecuación de Schrödinger se preocupa por el espín?

¿De dónde se originan las funciones de onda de partículas y antipartículas en la ecuación de Klein Gordon?