¿Por qué la ecuación de Klein Gordon es de segundo orden en el tiempo?

Hay una gran diferencia entre las ecuaciones de Schrödinger/Dirac y la de Klein-Gordon: las primeras son complejas mientras que la segunda es real. Pero si piensas un poco en ellos, también encontrarás una gran similitud.

Si representas números complejos de la forma$a+ib$ con matrices de la forma$\pmatrix{a&-b\\ b&a}$, entonces puede reescribir fácilmente la ecuación de Schrödinger de esta manera (tomando todas las constantes dimensionales iguales a$1$):

$$\left\{\begin{align} \dot R&=\hat H_RI-\hat H_I I\\ -\dot I&=\hat H_RR+\hat H_I R, \end{align}\right.$$

dónde$R$y$I$son las partes real e imaginaria de la función de onda$\psi=R+iI$y hamiltoniano$\hat H=\hat H_R+i\hat H_I$.

Ahora la ecuación de Klein-Gordon también se puede reescribir de esta forma:

$$\left\{\begin{align} \dot\varphi&=A\\ \dot A&=\nabla^2\varphi-\mu^2\varphi. \end{align}\right.$$

En ambos casos tienes dos ecuaciones simultáneas de primer orden. En ambos casos hay que especificar dos condiciones iniciales. Para la ecuación de Schrödinger son reales$R$e imaginario$I$partes de la función de onda, y para la ecuación de Klein-Gordon son$\varphi$y$\dot\varphi$.

En las teorías no relativistas, tienes

$$\frac{\mathbf p^2}{2m}=E\to\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}=\hat E$$ que nos da la normalidad $\nabla^2$y $\partial_t$términos que encontramos en la ecuación de Schroedinger. Cuando se tiene en cuenta la relatividad, la relación energía-momento anterior se convierte en $$\sqrt{\mathbf p^2c^2+m^2c^4}=E\tag{1}$$ Cuando los conviertes en operadores, obtienes una segunda derivada inestable bajo el término raíz cuadrada: $$\sqrt{(-i\hbar\nabla)^2 c^2+m^2c^4}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$ con el que es difícil trabajar. Entonces, en lugar de (1), solo usas $$\mathbf p^2c^2+m^2c^4=E^2\tag{2}$$ como el comienzo. Esto naturalmente conduce al segundo orden en el tiempo.

La evolución temporal de la función de onda siempre se describe mediante la ecuación de Schroedinger

$$\dot{\psi} = -i \hat{H} \psi,$$ que es lineal en el tiempo. La ecuación de Klein-Gordon es una ecuación relativista clásica que describe la propagación de perturbaciones en un campo. $\phi$llevando una masa $m$. Esta ecuación es de segundo orden en el tiempo, al igual que la mayoría de las ecuaciones clásicas de movimiento que uno podría pensar (por ejemplo, la segunda ley de Newton). Cuando cuantificas una teoría de campo de este tipo, la función de onda ahora es un funcional del campo, es decir $\psi[\phi(x)]$describe la amplitud de probabilidad para una configuración de campo particular tomando los valores $\phi(x)$en todos los puntos posibles del espacio-tiempo $x$. Como siempre en la teoría cuántica, las variables dinámicas se representan como operadores que no conmutan. En este caso, el campo $\phi$por lo tanto se convierte en un operador $\hat{\phi}$, y el hamiltoniano $\hat{H}$se expresa en términos de estos operadores de campo.