∇∇\nabla y no localidad en el modelo relativista simple de la mecánica cuántica

La no localidad proviene de la presencia de infinitos términos en esa expansión. Para ver eso, supongamos que estamos aplicando la función no polinomial$f(\vec{z})$de$i\nabla$en cualquier función$\psi(\vec{x})$:$f(i\nabla) \psi(\vec{x})$. Asumiendo que$f(z)$es "suficientemente agradable" para tener la representación de Fourier$f(\vec{z}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) e^{i \vec{k}\cdot \vec{z}}$para una función de transformación adecuada$F(\vec{k})$. Entonces:

$f(i \nabla) \psi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) e^{i \vec{k}\cdot (i \nabla)} \psi(\vec{x}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) e^{- k\cdot \nabla} \psi(\vec{x}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3} F(\vec{k}) \psi(\vec{x}-\vec{k})$

Esta es la superposición de valores de$g$calculada en puntos diferentes a$\vec{x}$. esa es la no localidad.

No es local porque la evolución temporal de la función de onda depende instantáneamente de partes del campo que están arbitrariamente lejos. En el caso de una linealización usando la raíz cuadrada que obtienes.

$$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\, \psi ~~=~~ \tilde{H}\,\psi ~~=\ \sqrt{\mathbf{\tilde{p}}^2 c^2 + m^2c^4}\ \psi\ =\ \nonumber \end{equation}$$

Donde las tildes en el$\tilde{H}$y$\tilde{p}$los define como operador. Podemos usar aquí la serie.

$$\begin{equation} \sqrt{1 + \tilde{p}^2} ~~= \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mbox{ $1 + \frac{1}{2}\tilde{p}^2 - \frac{1}{8}\tilde{p}^4 + \frac{1}{16}\tilde{p}^6 - \frac{5}{128}\tilde{p}^8 + \frac{7}{256}\tilde{p}^{10} - \frac{21}{1024}\tilde{p}^{12} + \frac{33}{2048}\tilde{p}^{14} - \frac{429}{32768}\tilde{p}^{16} + ....$}\nonumber \end{equation}$$

Se encuentra que esta serie está representada por una expresión finita y podemos definir$\tilde{H}$como sigue.

$$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\, \psi ~~=~~ \tilde{H}\,\psi ~~=\ \sqrt{\mathbf{\tilde{p}}^2 c^2 + m^2c^4}\ \psi\ =\ \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} =\ \pm \ mc^2\left\{ 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\ (2n-2)!}{n!(n-1)!\ 2^{2n-1}} \left( \frac{\mathbf{\tilde{p}}^2}{m^2c^2}\right)^{n} \right\} \psi \end{equation}$$

O escrito como un operador diferencial:

$$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \, \psi ~~=~~ \tilde{H}\,\psi ~~= \end{equation}$$ $$\begin{equation} \pm \ mc^2\left\{ 1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{ (2n-2)!}{n!(n-1)!\ 2^{2n-1}} \left( \frac{\hbar^2}{m^2 c^2}\ \right)^{n} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)^{n}\right\} \psi \nonumber \end{equation}$$

Aplicando este tipo de serie de operadores en una función de onda$\psi$equivale a una convolución con una función Bessel K. Por ejemplo, en el caso unidimensional se puede demostrar, usando la transformada de Fourier, que:

$$\begin{equation} \begin{aligned} & \sqrt{ \partial_x^2 - m^2}^{\,-1} \psi &=~~ &~~\, K_0(mx) ~*~ \psi \\ \end{aligned} \end{equation}$$

Dónde$*$denota convolución, a partir de este resultado se puede derivar:

$$\begin{equation} \begin{aligned} & \sqrt{ \partial_x^2 - m^2}~~ \psi &=~~ &\tfrac{m}{x} K_1(mx) ~*~ \psi \\ \end{aligned} \end{equation}$$

Esta convolución significa que$\partial\psi/\partial t$depende de valores no locales de$\psi$

Hans