Definición de estabilidad de Lyapunov

Vagamente dice que si comienzas cerca en$t=0$tienes que estar cerca para todos$t \ge 0$. solo eligiendo$\delta$como en la pregunta no garantiza que$x(t)$permanece cerca de$x_e$.

toma el sistema$\dot{x} = x$. Tenga en cuenta que$x_e = 0$es un equilibrio. La solución es solo$x(t) = x(0) e^t$.

Sin embargo, para cualquier$\epsilon>0$no hay$\delta>0$tal que para cualquier condición inicial$x(0)$satisfactorio$|x(0)| < \delta$entonces$|x(t)| < \epsilon$ para todos $t \ge 0$.

Debe quedar claro que para cualquier$\delta>0$, si tomamos$x(0) = {1 \over 2} \delta$, entonces$x(t) \to \infty$, entonces$x_e$no es estable en el sentido de Lyapunov.

Para reiterar, si$x_e$es estable en el sentido de Lyapunov entonces para cualquier$\epsilon>0$debe existir alguna$\delta>0$tal que si elijo cualquier condición inicial que satisfaga$\|x(0)-x_e\| < \delta$entonces la solucion$x(t)$restos$\epsilon$cerca de$x_e$para todos$t \ge 0$.

Debemos tener$\delta \le \epsilon$por supuesto, ¿quizás eso es lo que te confunde?

Lo siguiente es crudo, pero puede ilustrar la idea. Todas las curvas comienzan dentro del '$\delta$pelota'. Las curvas verdes permanecen dentro del '$\epsilon$bola', la curva roja se desvía hacia afuera.

El valor de$\delta$es en realidad$\delta(\epsilon,t_0)$. En otras palabras, la definición nos dice que para cualquier valor positivo arbitrario$\epsilon$y$t \in [t_0,\infty)$existe un$\delta(\epsilon,t_0)$. Esto aborda varios tipos de estabilidad. en particular si$\delta=\delta(\epsilon)$solo (como el caso$\delta=\epsilon$), se puede hablar de estabilidad uniforme.