Función de Green para la ecuación de Helmholtz

¡La integral no es difícil! La medida$d^3p$es igual a$|p|^2d|p|\, d(\cos \theta) d\phi$y el exponencial$\exp\{-i{\bf p}\cdot ({\bf x}-{\bf x}')\}$es$\exp\{-i |p| |{\bf x}-{\bf x}'|\cos\theta\}$, por lo que todo es una integral directa sobre escalares desacoplados.

Debemos mostrar que

$$G(|x|)= \int_{{\mathbb R}^3}\frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{e^{i{\bf p}\cdot {\bf x}}}{|{\bf p}|^2+m^2 } = \frac 1{4\pi|{\bf x}|} e^{-m{|\bf x}|}$$ (tenga en cuenta que la ecuación del OP no es del todo correcta: no hay $i$en el exponente de la derecha cuando su $k^2$(mi $m^2$) es positivo). Usamos la medida que di arriba para hacer las integrales sobre los ángulos $\theta$y $\phi$para ver que esto es igual a $$G(|{\bf x}|)=C \frac 1{|{\bf x}|}\int_0^\infty d|p| \frac{|{\bf p}| \sin |{\bf p}||{\bf x}|}{|{\bf p}|^2+m^2}$$ por alguna constante $C$. No necesitamos usar el lema de Jordan para hacer la integral restante. Observamos que la integral elemental $$\int_0^\infty e^{-mx}\sin (px) \, dx= \frac p{p^2+m^2}$$ es una transformada de Fourier de media línea, y la deseada $|{\bf p}|$integral es su transformada inversa de Fourier.

Cuando los OP$k^2$se vuelve negativa tenemos una ecuación de onda. Este no tiene una función de Green única y es en este caso que hay singularidades en el contorno de integración del final.$|{\bf p}|$integral. Cómo enrutamos el contorno alrededor de ellos agregando$\pm i\epsilon$'s entonces determina si reemplazamos$m$por$i|k|$o$-i|k|$, y físico se refiere a ondas salientes (y una función de Green causal) o ondas entrantes (y una función de Green anti-causal). En este caso, es útil cierto conocimiento de las técnicas de variables complejas, pero aún no es necesario, ya que aún podemos invertir una transformada de Fourier.