Al encontrar la función verde, cómo definir la desviación u(x)u(x)u(x)

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Al encontrar la función verde, cómo definir la desviación u(x)u(x)u(x)

Física
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armara

En el PDE a continuación, $u$ describe la deflexión de una viga rígida con densidad de longitud $\rho_l$ , modulos elasticos $E$ , momento de inercia $I$ y densidad de fuerza externa $f(x,t)$ .

La cuestión es definir la función de green a la flecha estacionaria de las vigas cuando $f(x,t) = f(x)$ , es decir, cuando la densidad de fuerza externa es independiente del tiempo.

PDE:

ρ_{yo} {tu}_{t t} - mi I {tu}_{X X X X} = F (X, t)

$\rho_l u_{tt} - EIu_{xxxx} = f(x,t)$ Condiciones de borde:

tu (0, t) = {tu}_{X} (0, t) = tu (yo, t) = {tu}_{X} (yo, t) = 0

$u(0,t) = u_x(0,t) = u(l,t) = u_x(l,t) = 0$

A mi problema: Recibí ayuda de un maestro que me dijo que debería comenzar por definir

tu (X) = \int_{0}^{yo} GRAMO (X, s) \frac{F (s)}{mi I} d s

$u(x) = \int_0^l G(x,s)\frac{f(s)}{EI}ds$

A partir de aquí, tengo una idea de cómo proceder. Pero no tengo idea de cómo supo qué poner como $u(x)$ , y me encantaría si pudiera obtener una explicación de esto. Por ejemplo, ¿cómo supo que $f(s)$ debe ser dividido por $EI$ ? ¡Gracias!

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Miguel · Answer 1

Cuando el haz está estacionario, su PDE se vuelve

- mi I {tu}_{X X X X} = F (X),

$\begin{equation} -E I u_{xxxx} = f(x), \end{equation}$ o

- {tu}_{X X X X} = \frac{F (X)}{mi I} .

$\begin{equation} -u_{xxxx} = \frac{f(x)}{EI}. \end{equation}$ Así que de ahí viene esa división.

Ahora, mirando el significado de la función de Green , supongamos que satisface su ecuación diferencial, con $\delta(x-s)$ en lugar del término fuente. En este caso el término fuente es $\frac{f(x)}{EI}$ , por lo que suponemos que

- {GRAMO}_{X X X X} = d (X - s) .

$\begin{equation} -G_{xxxx} = \delta(x-s). \end{equation}$ (Para obtener una solución para cualquier problema en particular, generalmente necesitará encontrar una función de Green en particular que satisfaga su ecuación y las condiciones de contorno. Pero por ahora, todo lo que necesitamos es simplemente asumir que ya tiene una).

Entonces, la razón por la que las funciones de Green son útiles es que podemos usar una solución para $G$ encontrar $u$ expresando el término fuente como una integral que involucra este $\delta$ -función, y luego reemplazar $\delta$ con esa cantidad de función de Green:

\begin{aligned} - \partial_{X}^{4} tu & = \frac{F (X)}{mi I} \\ = \int d (X - s) \frac{F (s)}{mi I} d s \\ = \int - \partial_{X}^{4} GRAMO (X, s) \frac{F (s)}{mi I} d s \\ = - \partial_{X}^{4} \int GRAMO (X, s) \frac{F (s)}{mi I} d s . \end{aligned}

$\begin{align} -\partial_x^4 u &= \frac{f(x)}{EI} \\ &= \int \delta(x-s) \frac{f(s)}{EI} ds \\ &= \int -\partial_x^4 G(x,s) \frac{f(s)}{EI} ds \\ &= -\partial_x^4 \int G(x,s) \frac{f(s)}{EI} ds. \end{align}$ Ahora, comparando la primera línea con la última, podemos ver que una solución para

u

$u$ es simple

tu (X) = \int GRAMO (X, s) \frac{F (s)}{mi I} d s .

$\begin{equation} u(x) = \int G(x, s) \frac{f(s)}{EI} ds. \end{equation}$ Asumiendo

G

$G$ también satisface sus condiciones de contorno, esta es la solución que está buscando.

Esta es una idea muy general, y básicamente es siempre lo que haces cuando usas las funciones de Green. Simplemente debe leer la página de Wikipedia que vinculé anteriormente para comprender esta idea de manera más general. Es casi seguro que lo usará de nuevo, pero en formas ligeramente diferentes, por lo que realmente necesitará entenderlo en un nivel más abstracto.

Notaré que en realidad no tienes que dividir por $EI$ . Podrías haber tratado a tu fuente como $f(x)$ , por lo que la PDE era sólo

- mi I {tu}_{X X X X} = F (X) .

$\begin{equation} -E I u_{xxxx} = f(x). \end{equation}$ Recuerda que reemplazas la fuente [aquí eso es

f (x)

$f(x)$ ] por

δ

$\delta$ , y luego supongamos que

G

$G$ satisface esa ecuación, entonces tendrías que tener

- mi I {GRAMO}_{X X X X} = d (X - s) .

$\begin{equation} -E I G_{xxxx} = \delta(x-s). \end{equation}$ El resultado habría sido el mismo, excepto que lo que llamas "la función de Green" habría sido reescalado por

E I

$EI$ .

También podrías haber dividido por $-EI$ , en ese caso

{tu}_{X X X X} = - \frac{F (X)}{mi I}

$\begin{equation} u_{xxxx} = -\frac{f(x)}{EI} \end{equation}$ dice que

- \frac{f (x)}{E I}

$-\frac{f(x)}{EI}$ es su fuente, por lo que su función de Green tendría que satisfacer

{GRAMO}_{X X X X} = d (X - s) .

$\begin{equation} G_{xxxx} = \delta(x-s). \end{equation}$ Todo es cuestión de cuándo se divide por cualquier constante dada.

¡Gracias por una respuesta elaborada! Ayudó mucho. En este momento estoy un poco confundido acerca de la $-G_{xxxx}=\delta(s-x)$ . ¿Importa en el $\delta$ -función, si escribimos $\delta(s-x)$ o $\delta(x-s)$ ? Además, ¿cómo te das cuenta de que debes poner un signo negativo delante de $G_{xxxx}$ , pero no en la integral delante de $G(x,s)$ ?
El letrero dentro de un $\delta$ -función realmente no importa , porque solo "hace algo" cuando $x-s = 0 = s-x$ . Ahora, en cuanto a la señal en frente de $G_{xxxx}$ , la idea es que $G$ debe satisfacer exactamente la misma ecuación que $u$ – excepto con la fuente reemplazada por una $\delta$ -función. En este caso, la PDE original tenía signo negativo, por eso está delante de $G_{xxxx}$ , pero no dentro de la integral. He editado la respuesta para agregar un poco más de claridad; tenga en cuenta la última parte de este problema en particular.
Todavía tengo algunos problemas para comprender la función de Green en un nivel abstracto, pero esto me ayudó mucho. Resolví mi problema y creo que tendré una mejor comprensión trabajando con nuevos problemas unos días más. ¡Gracias otra vez! Te daría un +1, pero no tengo suficiente reputación jajaja.

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