Derivación de la función de Green para la ecuación de onda

Question

Derivación de la función de Green para la ecuación de onda

ondas
Física
greens-funciones
Transformada de Fourier
deberes-y-ejercicios

xyz

En el libro de texto Métodos modernos en acústica analítica (Crighton-1992, enlace de Amazon a la edición de 2013 ), lo siguiente relaciona la función de 3D Green en el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia. $g(x-y)$ :

\begin{aligned} gramo (X - y) & = - \frac{C^{2}}{4 π C r} \int_{- \infty}^{\infty} d (r - C t) {mi}^{i ω t} d t, r = | X - y | \\ (2.158) & = - \frac{1}{4 π r} {mi}^{i k_{0} t}, \end{aligned}

$\begin{align} g\left(\mathbf{x-y}\right)&=-\frac{c^2}{4\pi cr}\int_{-\infty}^\infty\delta\left(r-ct\right)e^{i\omega t}\,dt,\qquad r=\left|\mathbf{x-y}\right|\\ &=-\frac{1}{4\pi r}e^{ik_0t},\tag{2.158} \end{align}$

No veo cómo la integración ha eliminado la variable c. A mí la integración debe salir $e^{i k_0 r}$ dónde $k_0=\omega/c$ y entonces la respuesta debería ser

gramo (X - y) = - \frac{C}{4 π r} {mi}^{i k_{0} r}

$g(\mathbf{x-y}) = -\frac{c}{4 \pi r} e^{i k_0 r}$ que sé que es incorrecto por un factor de c.

¿Está mal el texto? Y si es así, ¿cómo obtengo la expresión correcta para $g(\mathbf{x-y})$ ?

Nota la $-c^2$ factor se utiliza para relacionar la función de Green $G(x,y,t) = \frac{\delta(r-ct)}{4 \pi c r}$ para la ecuacion

(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - C^{2} \nabla^{2}) GRAMO (X, y, t) = d | X - y |

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2) G(x,y,t) = \delta |x-y|$ a la ecuación de onda reducida:

(\nabla^{2} + k_{0}^{2}) GRAMO (X, y, ω) = - \frac{1}{C^{2}} d | X - y |

$( \nabla^2 + k_0^2) G(x,y,\omega) = -\frac{1}{c^2} \delta |x-y|$

Respuestas (1)

Derivación de la función de Green para la ecuación de onda

basureroDoofus · Answer 1

basureroDoofus

En Matemática:

Refine[-(c^2/(4 π c r)) Integrate[
  DiracDelta[r - c t] Exp[I ω t], {t, -∞, ∞}], 
    Assumptions -> {r ∈ Reals, c > 0}]

la salida es

- \frac{{mi}^{\frac{i r ω}{C}}}{4 π r} = - \frac{{mi}^{i r k_{0}}}{4 π r}

$-\frac{e^{\frac{i r \omega }{c}}}{4 \pi r}=-\frac{e^{irk_0}}{4 \pi r}$ El factor adicional de

c

$c$ se elimina desde que

δ

$\delta$ La función tiene un argumento de

c t

$ct$ .

xyz

Todavía estoy desconcertado por el resultado. Mi lógica es:

δ (r - c t) = δ (t - r / c)

$\delta(r-ct) = \delta(t-r/c)$ y por tanto por la propiedad de traslación de la función delta

\int_{- \infty}^{\infty} e^{i ω t} δ (t - r / c) d t = e^{i ω r / c} = e^{i k_{0} r}

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t} \delta (t-r/c) \, dt = e^{i \omega r/c} = e^{i k_0 r}$ ?

basureroDoofus

@James: El problema es

f (t) = δ (r - c t) \neq δ (t - r / c)

$f(t)=\delta(r-ct) \neq \delta(t-r/c)$ . Bastante,

f (t) = δ (r - c t) = c^{- 1} δ (t - r / c)

$f(t)=\delta(r-ct) = c^{-1}\delta(t-r/c)$ .

Derivación de la función de Green para la ecuación de onda

xyz

Respuestas (1)

basureroDoofus

xyz

basureroDoofus

Al encontrar la función verde, cómo definir la desviación u(x)u(x)u(x)

Función de Green para la ecuación de Helmholtz

Fourier transformando la ecuación de onda dos veces

Ley del Inverso del Cuadrado en dimensiones DDD (dos casos)

Velocidad de grupo con pulso gaussiano

Una pregunta sobre el uso de la descomposición de Fourier para resolver la ecuación de Klein Gordon

Obtener cero como solución a la ecuación de onda 1D

¿Por qué no podemos definir una longitud de onda única para un tren de onda corta? [duplicar]

Ruido blanco y transformada de Fourier

Desplazamiento de onda con diferencia de fase 180