Transformada de Fourier de la función de correlación

1) Este es un teorema QFT estándar, a saber, "invariancia de traducción = conservación del momento", y se demuestra en todos los libros de texto QFT. Lo demuestra calculando la transformada de Fourier del correlacionador de espacio de posición:

$$\int d^3x d^3 y \; e^{-ip \cdot x} e^{-i k \cdot y} < P_i(x) P_j(y)>\,.$$ Ahora usa la invariancia de traslación y muestra que la integral anterior es proporcional a $\delta^3(p+k)$. Luego define el correlador del espacio de momento como $$(2\pi)^3 \delta^3(k+p) < P_i(k) P_j(-k)> \;\; = \; \int d^3x d^3y \; e^{-ip \cdot x} e^{-i k \cdot y} < P_i(x) P_j(y)>$$ o $$< P_i(k) P_j(-k)> \;\; =\; \int d^3x \; e^{-i k\cdot x} <P_i(x) P_j(0)>\,.$$ Probablemente me he perdido algunos factores de $2\pi$aquí y allá.

2) Para ver esto, tome la traza (supongo que hay 3 polarizaciones, tal que$\delta_{ij}^2 = 3$). En la parte superior, obtienes

$$\delta_{ij} < P_i(k) P_j(-k) > = \frac{2}{\kappa} = \text{constant.}$$ En la parte inferior, esto mata la parte sin rastro: $$\delta_{ij} < P_i(x) P_j(0) > = \frac{4\pi}{\kappa} \delta^3(x)\,.$$ (Falta un factor delante de la función delta, como $\delta_{ij} \times \text{constant}$, pero lo configuré en uno aquí.) Para mostrar que estas expresiones son iguales, debe demostrar que la transformada de Fourier de una constante es una función delta. Esto no es tan difícil. ¡Buena suerte!