Ayuda con la función de Green/transformación de Fourier para resolver la ecuación de Poisson filtrada

Tengo problemas para pasar de una línea a la siguiente desde esta página wiki. Me refiero a la línea de texto.

función de Green en r viene dada por la transformada inversa de Fourier,

dónde

GRAMO ( r )   =   1 ( 2 π ) 3 ∭ d 3 k mi i k ⋅ r k 2 + λ 2

va a

GRAMO ( r )   =   1 2 π 2 r ∫ 0 ∞ d k r k r pecado ⁡ ( k r r ) k r 2 + λ 2 .

¿Dónde está el 1 r término provienen y lo que es k r ? ¿Cómo simplificaron la integral triple? ¿Teorema de la divergencia? Stokes? Los pasos detallados serían muy apreciados.

Sugerencia: Cambie de coordenadas rectangulares a esféricas en k -espacio.
Ojalá a estas alturas esté claro que k r es la coordenada radial en k -espacio, es decir k r = | k | .

Respuestas (2)

Conviertes la integral a coordenadas esféricas y la k ⋅ r el término se convierte en k r porque ⁡ θ . integrando sobre θ y ϕ obtiene la expresión integral unidimensional.

Me encontré con el mismo problema hoy y no me gustó el uso de las funciones de Bessel. Así que aquí está mi enfoque más simple: nada de cosas aterradoras.

Pon todo en coordenadas esféricas:

k 1 = k pecado ⁡ θ porque ⁡ ϕ , k 2 = k pecado ⁡ θ pecado ⁡ ϕ , k 3 = k porque ⁡ θ , y d 3 k = k 2 pecado ⁡ θ d k d θ d ϕ y r 1 = r pecado ⁡ θ ′ porque ⁡ ϕ ′ , r 2 = r pecado ⁡ θ ′ pecado ⁡ ϕ ′ , r 3 = r porque ⁡ θ ′ .

Luego haces el producto escalar y da k ⋅ r ⋅ [ . . . ] , dónde [ . . . ] es un término feo lleno de θ, θ', ϕ y ϕ' para el ángulo entre k y r .

Sin embargo, puede elegir un eje ortogonal diferente: digamos uno donde z' es paralelo a r . En estos ejes "r-ortogonales": X ^ r ' = X ^ r ^ z ^ r ' y y ^ r ' = z ^ r ' ^ X ^ r ' y z ^ r ' = r /r.

Así que ahora tus coordenadas esféricas son:

k 1 = k r pecado ⁡ θ porque ⁡ ϕ , k 2 = k r pecado ⁡ θ pecado ⁡ ϕ , k 3 = k r porque ⁡ θ , y d 3 k = k r 2 pecado ⁡ θ d k d θ d ϕ y r 1 = 0 , r 2 = 0 , r 3 = r .

y el producto escalar es simplemente k r ⋅   r ⋅ porque ⁡ θ , con θ el ángulo entre k y r en estos "ejes r".

Ahora define γ = k r ⋅   r ⋅ porque ⁡ θ y dγ = k r ⋅   r ⋅ pecado ⁡ θ d θ y sustituir en las integrales. Esto le dará la k r / r término.

Cuando integras el mi i γ de γ = − k r r a + k r r , esto te dará la pecado ⁡ k r r .

Hola DoM, gracias por el esfuerzo de tex. Arreglé algo, pero me preocupa cambiar algo del significado y el espaciado. Debe utilizar \sin y \theta y \phi en lugar de Unicode y "sin", que es s * i * n
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