Ruido blanco y transformada de Fourier

Question

Ruido blanco y transformada de Fourier

Física
movimiento browniano
Transformada de Fourier
procesos estocásticos
deberes-y-ejercicios

David

Intento resolver una ecuación de Langevin en el espacio de Fourier. Mi comprensión del ruido blanco en el espacio de Fourier parece estar equivocada.

Supongamos que tengo una partícula con su evolución temporal de la posición dada por la ecuación diferencial estocástica.

\frac{d F (t)}{d t} = gramo (F) + ξ (t)

$\frac{d f(t)}{dt}=g(f)+\xi(t)$

$f$ es la posición, $\xi$ es el ruido blanco, $g$ alguna función de la posición, y $t$ el tiempo.

La partícula se moverá de acuerdo a la ecuación diferencial pero debido al ruido, cada vez que rehago el experimento observaré una trayectoria diferente. Lo que interesa no es la posición de la partícula en el tiempo $t_0$ pero el promedio sobre un gran número de realizaciones, todas evaluadas en el tiempo $t_0$ .

Escribo este "promedio sobre todas las realizaciones" con $<>$ .

El ruido, en cualquier momento $t$ , es cero en promedio: $<\xi(t)>=0 \quad \forall ~t$ .

Esto significa:

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{j = 1}^{norte} ξ_{j} (t) = 0 \forall t

$\lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N}\xi_j(t)=0 \quad \forall ~t$

con " $j$ "las diferentes realizaciones.

Quiero que Fourier transforme el ruido. Dada una realización particular " $j$ "del ruido $\xi_j(t)$ Puedo calcular su transformada de Fourier:

$\hat\xi_j(\omega)=\int \xi_j(t) e^{i\omega x}dt$

Ahora, quiero calcular el promedio de todas las realizaciones:

< \hat{ξ} (ω) >= \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{j = 1}^{norte} {\hat{ξ}}_{j} (ω) = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{j = 1}^{norte} \int ξ_{j} (t) {mi}^{i ω t} d t = \int (\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{j = 1}^{norte} ξ_{j} (t)) {mi}^{i ω t} d t = \int < ξ (t) > {mi}^{i ω X} d t = 0

$<\hat\xi(\omega)>=\lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \hat\xi_j(\omega) \\ \quad \quad \quad \quad ~= \lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \int \xi_j(t) e^{i\omega t}dt \\ \quad \quad \quad \quad ~= \int \left( \lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \xi_j(t) \right) e^{i\omega t}dt \\ \quad \quad \quad \quad ~= \int <\xi(t)> e^{i\omega x}dt \\ \quad \quad \quad \quad ~= 0$

Lo cual es incorrecto ya que el espectro de Fourier de un ruido blanco es una función constante. ¿Qué me estoy perdiendo?

una mente curiosa

¿Estás seguro de que puedes intercambiar el límite y la integral así?

usuario73762

Estoy seguro de que no puedes; por lo tanto, necesita otra forma de calcular

⟨ ξ (t) e^{i ω t} ⟩

$\left\langle \xi(t) e^{i\omega t} \right\rangle$ . Esa es la razón por la cual la respuesta de Mark Mitchison , centrándose en

⟨ ξ (t) ξ (t^{'}) ⟩

$\left\langle \xi(t) \xi(t^\prime) \right\rangle$ , es relevante. Tenga en cuenta que, a menos que su redacción y enfoque inicial, se aplica al promedio de todos los procesos (

ξ (t)

$\xi(t)$ en vez de

ξ_{j} (t)

$\xi_j(t)$ ), pero ese es realmente el aspecto interesante.

marca mitchison

@pyramids Sin embargo, creo que la conclusión, que

⟨ \int d t e^{i ω t} ξ (t) ⟩ = 0

$\langle \int\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t) \rangle = 0$ , debería ser correcto, ¿no? Dado que estamos considerando un montón de funciones aleatorias correlacionadas delta, esperaría que la transformada de Fourier de cada una de estas funciones, evaluada en alguna frecuencia

ω

$\omega$ , que se distribuirá por igual entre valores positivos y negativos.

marca mitchison

@pyramids ¿Qué quieres decir con que la transformada de Fourier conserva energía? Para considerar el poder, ¿no estamos hablando del segundo momento de todos modos?

marca mitchison

@pyramids No estoy de acuerdo. La transformada de Fourier de cada realización no desaparece. Sin embargo, el valor promedio (promedio sobre realizaciones) de la transformada de Fourier en cada frecuencia

ω

$\omega$ debe ser cero. ¿Qué más podría ser?

usuario73762

Supongo que tienes razón y yo me he equivocado.

robert bristow-johnson

hay una diferencia entre la transformada de Fourier de algo y el espectro de potencia del mismo algo. la Transformada de Fourier de una función estocástica es, en sí misma, también aleatoria. pero, dadas ciertas condiciones (como la ergodicidad), el valor esperado del espectro de potencia del ruido blanco es una constante.

David

Ok, creo que ahora lo entiendo, gracias chicos. Así que creo que mis cálculos son correctos, pero mi error estuvo en la declaración incorrecta: "El espectro de Fourier de un ruido blanco es una función constante". Como dijo MarkMitchison, el promedio de la transformada de Fourier es cero para cada frecuencia, y el espectro de potencia, que es lo mismo que la transformada de Fourier de la autocorrelación, es una función constante en promedio. Mark, ¿puedes editar tu respuesta con toda esta información? Salud

marca mitchison

@David He actualizado mi respuesta. Por cierto, puedes etiquetar a los usuarios poniendo el símbolo de arroba (@) delante de su nombre. De lo contrario no serán notificados de su respuesta.

David

@MarkMitchison está bien, lo tengo;)

Respuestas (1)

Ruido blanco y transformada de Fourier

¿Estás seguro de que puedes intercambiar el límite y la integral así?
Estoy seguro de que no puedes; por lo tanto, necesita otra forma de calcular $\left\langle \xi(t) e^{i\omega t} \right\rangle$ . Esa es la razón por la cual la respuesta de Mark Mitchison , centrándose en $\left\langle \xi(t) \xi(t^\prime) \right\rangle$ , es relevante. Tenga en cuenta que, a menos que su redacción y enfoque inicial, se aplica al promedio de todos los procesos ( $\xi(t)$ en vez de $\xi_j(t)$ ), pero ese es realmente el aspecto interesante.
@pyramids Sin embargo, creo que la conclusión, que $\langle \int\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t) \rangle = 0$ , debería ser correcto, ¿no? Dado que estamos considerando un montón de funciones aleatorias correlacionadas delta, esperaría que la transformada de Fourier de cada una de estas funciones, evaluada en alguna frecuencia $\omega$ , que se distribuirá por igual entre valores positivos y negativos.
@pyramids ¿Qué quieres decir con que la transformada de Fourier conserva energía? Para considerar el poder, ¿no estamos hablando del segundo momento de todos modos?
@pyramids No estoy de acuerdo. La transformada de Fourier de cada realización no desaparece. Sin embargo, el valor promedio (promedio sobre realizaciones) de la transformada de Fourier en cada frecuencia $\omega$ debe ser cero. ¿Qué más podría ser?
hay una diferencia entre la transformada de Fourier de algo y el espectro de potencia del mismo algo. la Transformada de Fourier de una función estocástica es, en sí misma, también aleatoria. pero, dadas ciertas condiciones (como la ergodicidad), el valor esperado del espectro de potencia del ruido blanco es una constante.
Ok, creo que ahora lo entiendo, gracias chicos. Así que creo que mis cálculos son correctos, pero mi error estuvo en la declaración incorrecta: "El espectro de Fourier de un ruido blanco es una función constante". Como dijo MarkMitchison, el promedio de la transformada de Fourier es cero para cada frecuencia, y el espectro de potencia, que es lo mismo que la transformada de Fourier de la autocorrelación, es una función constante en promedio. Mark, ¿puedes editar tu respuesta con toda esta información? Salud
@David He actualizado mi respuesta. Por cierto, puedes etiquetar a los usuarios poniendo el símbolo de arroba (@) delante de su nombre. De lo contrario no serán notificados de su respuesta.

marca mitchison · Answer 1

El OP tiene razón al afirmar que la transformada de Fourier

ξ (ω) = \int d t {mi}^{i ω t} ξ (t),

$\xi(\omega) = \int\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t),$ se desvanece al promediar sobre las realizaciones,

⟨ ξ (ω) ⟩ = 0

$\langle \xi(\omega)\rangle = 0$ , siempre que supongamos que el ruido también es cero en promedio en el dominio del tiempo,

⟨ ξ (t) ⟩ = 0

$\langle \xi(t)\rangle = 0$ .

Sin embargo, el ruido no solo se caracteriza por su primer momento, sino también por su función de autocorrelación:

⟨ ξ (t) ξ (t^{'}) ⟩ = η d (t - t^{'}) .

$\langle \xi(t) \xi(t^\prime)\rangle = \eta\delta(t - t^\prime).$ Esta última ecuación caracteriza las fluctuaciones de

ξ (t)

$\xi(t)$ a tiempo; la presencia de la función delta en el lado derecho es lo que realmente define el ruido blanco. La transformada de Fourier de la función de autocorrelación proporciona el espectro de potencia: cómo se distribuye la potencia del ruido en diferentes frecuencias. Para el ruido blanco, esto claramente toma el valor constante

η

$\eta$ en el espacio de frecuencias (hasta una elección de normalización para la transformada de Fourier). Esto significa que las fluctuaciones contienen contribuciones iguales de todas las frecuencias, es decir, las fluctuaciones rápidas y lentas contribuyen por igual.

Como nota al margen, vale la pena mencionar que podríamos considerar fácilmente el ruido blanco con un promedio distinto de cero $\langle \xi(t) \rangle = \xi_0.$ Esto simplemente significa que el ruido tiene un componente constante (es decir, no aleatorio). En este caso tenemos que $\langle\xi(\omega)\rangle = 2\pi\xi_0 \delta(\omega)$ , y la condición de ruido blanco es

⟨ ξ (t) ξ (t^{'}) ⟩ = ξ_{0}^{2} + η d (t - t^{'}) .

$\langle \xi(t) \xi(t^\prime)\rangle =\xi_0^2+ \eta\delta(t - t^\prime).$ La elección

ξ_{0} = 0

$\xi_0 = 0$ es simplemente una convención que simplifica estas expresiones. Siempre podemos obtener ruido blanco de media cero por el cambio

ξ (t) \to ξ (t) - ξ_{0}

$\xi(t) \to \xi(t) -\xi_0$ .

Dijiste que "el espectro de Fourier del ruido blanco es una función constante". Esto es cierto para el segundo momento , no para el primero. El promedio de $\xi(\omega)$ es cero
Ok, aquí está mi error... ? Sin considerar los momentos, ¿cuál sería el espectro de Fourier de un ruido blanco?
¿A qué te refieres exactamente con "el espectro de Fourier del ruido blanco"? Quieres decir $\xi(\omega) = \int\mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t)$ ? Esta es una variable aleatoria, lo único que puedes decir sobre ella son sus momentos (o cualquier otra cantidad equivalente, como los cumulantes).
Sí, esto es lo que quiero decir. Y sí, en realidad estoy tratando de calcular $\xi(\omega)$ primer momento : $<\xi(\omega)>$

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