Función de Green en la ecuación de Lippmann Schwinger

Al derivar la sección transversal de dispersión utilizando la ecuación de Lippmann-Schwinger, necesitamos calcular la función de Green definida por

$$G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=\langle\mathbf{r}|\frac{1}{E-H+i\epsilon}|\mathbf{r'}\rangle$$ dónde $H=\frac{p^2}{2m}$representa el hamiltoniano de partículas libres. Esto se puede calcular como $$G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}}{4 \pi |\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}$$ y por definición debe satisfacer $$(E-H)G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r'})$$ Estoy tratando de verificar la última expresión escribiendo $H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$y trabajando a través de los derivados usando $\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r'}$para simplificar un poco las cosas. Mi método es usar la identidad $$\nabla^2(fg)=f\nabla^2g+2\nabla g.\nabla f+g\nabla^2f$$ para calcular la acción de $\nabla^2$en la función de Green antes de sumar todo usando $E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$Llegar $$(E-H)G(\mathbf{r},\mathbf{r'},E)=e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r'})$$ lo cual es un poco incorrecto. Cuando pienso en ello, no veo forma en que las operaciones matemáticas realizadas por $E-H$puede hacer que este factor adicional no deseado desaparezca del resultado final. ¿Hay algún defecto en algo de lo que he dicho o hay un lugar obvio en el que he recogido este factor? Gracias por cualquier ayuda.