Condiciones para determinar la función de Green para fenómenos de dispersión

Question

Condiciones para determinar la función de Green para fenómenos de dispersión

Física
dispersión
greens-funciones
mecánica cuántica
condiciones de borde

Oro

Considere la dispersión elástica de partículas por un potencial $V$ en Mecánica Cuántica. En la zona de influencia del potencial, el hamiltoniano se puede escribir como

H = H_{0} + V,

$H = H_0 + V,$

ser $H_0$ el hamiltoniano de partículas libres. La ecuación de valor propio para el hamiltoniano $H$ es así

H | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩,

$H|\psi\rangle = E|\psi\rangle,$

y si $E = \hbar^2 k^2/2\mu$ , podemos reescribir esto en la representación de la posición como:

(\nabla^{2} + k^{2}) ψ = tu ψ,

$\left(\nabla^2+k^2\right)\psi=U\psi,$

ser $U = 2\mu V/\hbar^2$ . Se puede resolver esta ecuación con el método de las funciones de Green. La solución general para un cierto $k$ es

ψ_{k} (r) = ψ_{k}^{0} (r) - \frac{1}{4 π} \int GRAMO (r, r^{'}) tu (r^{'}) ψ_{k} (r^{'}) d^{3} r^{'},

$\psi_k(\mathbf{r})=\psi_{k}^0(\mathbf{r})-\dfrac{1}{4\pi}\int G(\mathbf{r},\mathbf{r}')U(\mathbf{r}')\psi_k(\mathbf{r}')d^3\mathbf{r}',$

ser $\psi_k^0$ la solución para la ecuación libre, es decir, $H_0|\psi_k^0\rangle = E|\psi_k^0\rangle$ y donde $G$ es la función de Green satisfactoria:

(\nabla^{2} + k^{2}) GRAMO (r, r^{'}) = - 4 π d (r - r^{'}) .

$(\nabla^2+k^2)G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}').$

Ahora si encontramos $G$ reducimos el problema a una ecuación integral. Por lo tanto, necesitamos encontrar $G$ .

Mi problema aquí es el siguiente: para encontrar $G$ necesitamos las condiciones de contorno del problema. Sin embargo, no puedo entender qué condiciones límite deberíamos imponer aquí.

Entonces, para resolver problemas de dispersión usando funciones de Green como esa, ¿cuáles son las condiciones de contorno que debemos imponer para calcular la función de Green?

He visto este método en algunas notas y tal como están escritas las cosas, parece que la única condición impuesta es que $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ . Esta suposición da dos funciones de Green:

{GRAMO}^{\pm} (r, r^{'}) = \frac{{mi}^{\pm i k | r - r^{'} |}}{| r - r^{'} |}

$G^{\pm}(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\dfrac{e^{\pm ik |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$

Esto entonces parece ser necesario para obtener todas las soluciones.

¿Es esta la única condición necesaria o existen condiciones de contorno en $G$ ? ¿Cuál es el significado físico de la condición? $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ y ¿por qué debemos imponerlo?

una mente curiosa

Dado que probablemente desee que la dispersión se produzca de forma localizada, ¿por qué no imponer las "caídas lo suficientemente rápidas hacia el infinito" habituales?

Oro

Lo siento, pero no estoy seguro de haber entendido el punto. Sé que solemos considerar que el potencial tiene un rango finito, por lo que la dispersión ocurre en una región específica. Pero, ¿debemos exigir también que la función de onda desaparezca en el infinito? No estoy seguro de haber entendido, porque al menos intuitivamente me parece que la partícula puede ubicarse lejos de la región de dispersión. En verdad, tal como vi formulado el problema, las partículas se detectan bastante lejos de la región de dispersión.

higgsss

Ver en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_radiation_condition

Respuestas (1)

Condiciones para determinar la función de Green para fenómenos de dispersión

Dado que probablemente desee que la dispersión se produzca de forma localizada, ¿por qué no imponer las "caídas lo suficientemente rápidas hacia el infinito" habituales?
Lo siento, pero no estoy seguro de haber entendido el punto. Sé que solemos considerar que el potencial tiene un rango finito, por lo que la dispersión ocurre en una región específica. Pero, ¿debemos exigir también que la función de onda desaparezca en el infinito? No estoy seguro de haber entendido, porque al menos intuitivamente me parece que la partícula puede ubicarse lejos de la región de dispersión. En verdad, tal como vi formulado el problema, las partículas se detectan bastante lejos de la región de dispersión.

dolún · Answer 1

"Mi problema aquí es el siguiente: para encontrar G necesitamos condiciones de contorno del problema. Sin embargo, no puedo entender qué condiciones de contorno deberíamos imponer aquí.

Entonces, para resolver problemas de dispersión usando funciones de Green como esa, ¿cuáles son las condiciones de contorno que debemos imponer para calcular la función de Green?

¿Por qué desea establecer una condición de contorno? Claramente aquí tu problema no tiene límite ya que puedes detectar algunas partículas muy lejos del lugar donde se produce la interacción con el potencial. Sin embargo, seguramente necesitará una condición inicial provista por $\psi^0_\textbf{k}(\textbf{r})$ .

Siento (dime si me equivoco) que lo que quieres decir con "condición de contorno" se refiere en realidad al tipo de solución que te interesa. Como señalaste, la ecuación

(\nabla^{2} + k^{2}) GRAMO (r, r^{'}) = - 4 π d (r - r^{'})

$(\nabla^2+k^2)G(\textbf{r},\textbf{r}')=-4\pi\delta(\textbf{r}-\textbf{r}')$ tiene dos soluciones llamadas retardadas

G^{+}

$G^+$ y avanzado

G^{-}

$G^-$ Funciones verdes. Esto da lugar a dos tipos diferentes de soluciones para su ecuación diferencial:

La solución causal:
$ψ_{k} (r) = ψ_{k}^{(en)} (r) - \frac{1}{4 π} \int d r^{'} {GRAMO}^{+} (r - r^{'}) tu (r^{'}) ψ_{k} (r^{'})$ $\psi_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,G^+(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$ dónde $\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}\equiv \psi^{\text{0}}_\textbf{k}$ se interpreta como el campo entrante , es decir , el campo asintótico que se obtiene al tomar el límite $t\rightarrow -\infty$ y que evoluciona libremente con el tiempo. Esta suele ser la solución que interesa a la gente porque describe el evento de dispersión como resultado de la interacción con el potencial.
La solución anticausal:
$ψ_{k} (r) = ψ_{k}^{(afuera)} (r) - \frac{1}{4 π} \int d r^{'} {GRAMO}^{-} (r - r^{'}) tu (r^{'}) ψ_{k} (r^{'})$ $\psi_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,G^-(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$ dónde $\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}$ se interpreta como el campo de salida , es decir, el campo asintótico que se obtiene al tomar el límite $t\rightarrow +\infty$ y que había evolucionado libremente con el tiempo desde el pasado.

En ambos casos, los límites $t\rightarrow\pm\infty$ permitirle deshacerse de los términos integrales y dar lugar a diferentes interpretaciones de las soluciones.

También puede estar interesado solo en el campo radiado que se define como: $ψ_{k}^{(rad)} (r) = ψ_{k}^{(afuera)} (r) - ψ_{k}^{(en)} (r) = \frac{1}{4 π} \int d r^{'} GRAMO (r - r^{'}) tu (r^{'}) ψ_{k} (r^{'})$ $\psi^{\text{(rad)}}_\textbf{k}(\textbf{r})=\psi^{\text{(out)}}_\textbf{k}(\textbf{r})-\psi^{\text{(in)}}_\textbf{k}(\textbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}\textbf{r}'\,\mathcal{G}(\textbf{r}-\textbf{r}')\,U(\textbf{r}')\,\psi_\textbf{k}(\textbf{r}')$ con $GRAMO (r) = {GRAMO}^{+} (r) - {GRAMO}^{-} (r)$ $\mathcal{G}(\textbf{r})=G^+(\textbf{r})-G^-(\textbf{r})$

"He visto este método en algunas notas y tal como están escritas las cosas, parece que la única condición impuesta es que $G(\textbf{r},\textbf{r}')=G(\textbf{r}-\textbf{r}')$ ."

Me parece que esto no está directamente relacionado con su problema inicial. Se puede demostrar independientemente que la propiedad

GRAMO (r, r^{'}) = GRAMO (r - r^{'})

$G(\textbf{r},\textbf{r}')=G(\textbf{r}-\textbf{r}')$ es sólo una consecuencia del hecho de que la relación de dispersión

⟨ k | H | k ⟩ = E (k)

$\langle\textbf{k}| H|\textbf{k}\rangle =E(\textbf{k})$ sólo depende de la magnitud de la impulsión, es decir

E (k) \equiv E (k)

$E(\textbf{k})\equiv E(k)$ , que es una consecuencia del hecho de que su sistema es invariante bajo traducción.

Condiciones para determinar la función de Green para fenómenos de dispersión

Oro

una mente curiosa

Oro

higgsss

Respuestas (1)

dolún

¿Cómo elegir la función correcta de Green?

¿Cómo podemos justificar ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)\psi(\textbf{r})\to\psi_{in}(\ textbf{r})+\psi_{sc}(\textbf{r}) en |r|→∞|r|→∞|\textbf{r}|\to \infty pero no en finito |r||r| |\textbf{r}|?

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