Teoría de dispersión

En la teoría de dispersión de la mecánica cuántica no relativista, puede derivar una expresión para la sección transversal de dispersión diferencial bajo la aproximación Born de primer orden como

d σ d Ω = | F ( θ ) | 2
dónde
F ( θ ) = − metro 2 π ℏ 2 ∫ a yo yo s pag a C mi mi i q ⋅ r V ( r ) d 3 r
dónde q = k − k ′ es la diferencia entre el vector de onda entrante y detectado y V ( r ) es el potencial bajo consideración. Esta expresión es simplemente la transformada de Fourier del potencial con respecto a la variable q .

Mis notas luego afirman que esto implica que para sondear un objeto pequeño se necesita un alto pag = ℏ k . ¿Alguien ve cómo se sigue esto de los resultados anteriores? Gracias.

Intuitivamente, si el producto q → r → es pequeña, el término exponencial es básicamente constante, es decir, la integral es casi proporcional a la integral de volumen del potencial y la integral es insensible a las variaciones del potencial donde es grande (pequeña r ). Si lo miras con más detalle, esto es muy similar al problema de la resolución óptica, que tiene una solución ingenua del siglo XIX (criterio de Rayleigh) y una mejor moderna que toma la relación señal/ruido en la imagen (en este caso F ( θ ) ) en cuenta.

Respuestas (1)

Como lo que entra en la fórmula es q en lugar de k , yo diría que necesitamos un alto q (lo que, por supuesto, implica un alto k , debido a la conservación de la energía/cantidad de movimiento). Por ejemplo, si k es muy alto, pero q no lo es, esto significa que apenas hubo dispersión, lo que significa que en realidad no midió nada. Esto significa que lo que realmente necesita es una alta q .

Ahora, ¿por qué necesitaríamos un alto q para medir objetos pequeños? bueno, la respuesta es bastante simple: debido a las propiedades de la transformada de Fourier .

Es bien sabido que las bajas frecuencias (leer, bajas q ) de la transformada de Fourier codifican las propiedades gruesas de una imagen, y las altas frecuencias codifican los detalles 1 :

ingrese la descripción de la imagen aquí

Al final, todo se reduce al principio de incertidumbre. Δ X Δ k ≥ 1 , que en realidad es una propiedad de la Transformada de Fourier !

1 consulte, por ejemplo, http://www.robots.ox.ac.uk/~az/lectures/ia/lect2.pdf

Entonces, para producir una función de intensidad de imagen nítida (correspondiente a una imagen de alta resolución), debemos incluir los componentes de alta frecuencia en la transformada de Fourier. Haciendo esta analogía con la dispersión, para producir una sección transversal diferencial aguda, necesitamos tener suficientes componentes de alta frecuencia en la transformada de Fourier (es decir, tener una alta q ). Entonces, supongo que la pregunta que queda es ¿por qué tener una sección transversal diferencial 'afilada' le permite sondear mejor un objeto pequeño?
Supongo que la mejor manera de ver esto es suponiendo que tenemos un impulso bajo: aquí obtenemos una dispersión casi uniforme de las partículas porque la sección transversal de dispersión no varía mucho. Por otro lado, con un gran momento donde el flujo de partículas dispersas varía significativamente con la posición, podemos deducir mucho más sobre la estructura del cuerpo de dispersión (como Rutherford dedujo la existencia de un núcleo a partir del flujo significativamente variable con el ángulo de dispersión). ¿Es esto correcto?
@ Watw sí, eso es exactamente lo que está pasando. Necesitamos un gran impulso para obtener datos lo suficientemente sensibles de los experimentos. Si piensa en la partícula entrante como una onda plana (aproximación de Born), entonces mi − i k ⋅ r representa la onda entrante. Si desea medir detalles en una escala de longitud R , entonces es mejor que tengas k R ∼ > 1 , porque de otra manera mi − i k ⋅ r será casi constante sobre los valores interesantes de r ∼ R . Por lo tanto, si R es pequeño, necesita usar un valor alto de k .
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