Problema de dispersión cuántica en medio anisotrópico

Después del cambio de variables, el problema es equivalente a la solución de la ecuación 2D de Helmholtz.

$$\nabla'^2\psi + A^2\psi = 0$$

Si el límite hubiera permanecido circular, la parte radial de la solución sería una función de Hankel del primer tipo que asintóticamente es como

$${H_{n}^{(1)}(k r')\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi k r'}}}\exp \left(i\left(k r'-{\frac {n \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)},$$ por lo que, en las coordenadas primas, la solución sería de la forma $$\psi_{ref}\sim \frac{e^{ikr'}}{\sqrt{r'}}.$$ En 2D, la solución decae radialmente como ${r'}^{-1/2}$, a diferencia del caso 3D, que decae como ${r'}^{-1}$.

Desafortunadamente, en su caso, el límite se vuelve elíptico. Aunque el comportamiento asintótico no debería cambiar, la solución real es un poco más complicada. De ahora en adelante, consideraré el problema expresado en las nuevas coordenadas, por lo que eliminaré los números primos por motivos de brevedad. También asumiré, sin pérdida de generalidad, que$\alpha>1$, de modo que el límite forma una elipse con puntos focales en$(-c,0)$y$(c,0)$, dónde

$$c = r_0 \sqrt{\frac{\alpha-1}{\alpha}}$$ y la elipticidad $$e = \sqrt\frac{\alpha-1}{\alpha}.$$

Tales problemas se resuelven mejor en las coordenadas elípticas$(\mu,\theta)$, dónde

$$\begin{aligned} x &= c \cosh \mu \cos \theta \newline y &= c \sinh \mu \sin \theta. \end{aligned}$$

Línea$\mu=const$es una elipse cerrada con los mismos puntos focales que el límite, con$c \cosh \mu = r_0$en el límite. Línea$\cos\theta = cost$es una familia de parábolas concéntricas. En las nuevas variables, la ecuación de Helmholtz toma la forma

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial \mu^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} + c^2A^2 \left[\cosh^2\mu - cos^2 \theta \right]\psi = 0,$$ que toma soluciones de la forma $$\psi_n = M_n^{(1)}(c A,\mu)\left[C c_n(c A,\theta) +D s_n(c A,\theta)\right].$$

Funciones$c_n(c A,\theta)$y$s_n(c A,\theta)$son soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu. Forman una base ortogonal y para$c\rightarrow 0$ellos van a$\cos(n \theta)$y$\sin(n \theta)$respectivamente. La familia$M_n^{(1)}(c^2 A,\mu)$son soluciones de la ecuación de Mathieu modificada que van asintóticamente a$H_n^{(1)}(\sqrt 2 c A e^\mu)$.

El último paso es expresar la condición de valor límite en la elipse

$$\psi_{ref} = - \psi_{inc} = - e^{i k r_0 \cos\theta}$$ como combinación lineal de $s_n$y $c_n$.

El estudio de las funciones de Mathieu es bastante técnico y una solución completa al problema haría que el tamaño de esta respuesta fuera de proporción. En su lugar, señalaré algunos recursos que pueden proporcionarle todas las herramientas que necesita para llevarlo usted mismo.

• Para una introducción general a las funciones de Mathieu y su relación con la ecuación de Helmholtz, consulte Morse & Feshbach "Methods of theory physics", vol. 1 y vol. 2, capítulo 5 y 11.
• Para más detalles, pero menos física, véase Abramowitz y Stegun, Handbook of Mathematical Functions , capítulo 20.
• Para conocer las integrales necesarias para realizar la expansión de la condición de contorno, consulte Gradshteyn y Ryzhik, "Table of integrals Series and Products", 6.924.

Dado que los tres son libros de referencia clásicos, no debería resultarle difícil encontrar una copia.