Cómo probar la equivalencia de dos definiciones de la sección transversal de dispersión

Primero, es importante tener en cuenta que la dispersión de partículas es un proceso inherentemente mecánico cuántico. La descripción del "área objetivo efectiva" no es más que una metáfora clásica sugerente para proporcionar intuición para este proceso no clásico.

En esta metáfora, imaginamos que nuestro haz de partículas entrante está compuesto por$dN_{\rm incoming}$partículas distribuidas uniformemente sobre parches con área de sección transversal$A_{\rm beam}$y profundidad$dl$a lo largo de la trayectoria del haz. Por lo tanto, el flujo de partículas incidentes es$v \,dN_{\rm incoming}/(A_{\rm beam} dl)$donde v es la velocidad de la partícula.

Una fracción de las partículas en cada parche entrante se dispersará en un ángulo sólido$d\Omega$. ¿Qué fracción es esa? Para averiguarlo, imaginamos que todo el dispersor se subdivide en muchos tipos de objetivos de componentes que determinan la ruta de las partículas que los golpean. La velocidad a la que las partículas golpean un tipo de objetivo en particular es entonces solo el flujo de partículas multiplicado por el área transversal total de los objetivos de este tipo, dado por$d\sigma / d\Omega$. En otras palabras,

$$\frac{dN_{\rm scattered}}{d\Omega dt} = \left( v \frac{dN_{\rm incoming}}{A_{\rm beam} dl}\right) \frac{d\sigma}{ d\Omega}$$

Dada la forma en que hemos descrito el haz,$v = dl/dt$, y después de multiplicar ambos lados por el área de la viga$A_{\rm beam}$y el intervalo de tiempo$dt$para que las partículas en el parche del haz encuentren los objetivos, obtenemos

$$\begin{equation} \frac{dN_{\rm scattered}}{d\Omega} \, \bigg / \, dN_{\rm incoming} = \frac{d\sigma}{d\Omega} \bigg / A_{\rm beam} \label{fraction} \end{equation}$$

En otras palabras, la fracción de las partículas en el parche del haz se dispersaron en un ángulo sólido d$\Omega$viene dado por la relación del área de la sección transversal del objetivo$d\sigma/d\Omega$a la zona del haz$A_{\rm beam}$.

Al equiparar el RHS aquí con la expresión de la mecánica cuántica para el LHS, tal como la da Landau, se establece una definición para$d\sigma / d\Omega$en términos de un área objetivo de dispersión efectiva, como se indica en el libro de Feynman y Hibbs.

A continuación, podríamos querer cuantificar la medida en que las partículas en el haz incidente se dispersan en cualquier dirección. Las partículas que continúan su trayectoria incidente sin dispersarse no contribuyen en nada al ángulo sólido de dispersión, porque su dirección "dispersada" es un punto de dimensión cero en la esfera unitaria que representa las direcciones dispersadas. Integramos nuestra ecuación para la fracción de partículas dispersas sobre un ángulo sólido para obtener

$$\begin{equation} \frac{dN_{\rm scattered}}{dN_{\rm incoming}} = \frac{\sigma}{A_{\rm beam} } \end{equation}$$

dónde$\sigma = \int (d\sigma / d\Omega) \, d\Omega$. Entonces, nuevamente tenemos una forma de pensar en la probabilidad de dispersión en términos de un área objetivo efectiva.

Recuerde, en realidad no hay pequeños objetivos de área$d\sigma/d\Omega$, hay amplitudes de dispersión de la mecánica cuántica. Lo que hemos hecho aquí es construir una analogía clásica para$\sigma$tal que termina dando el mismo resultado que el cálculo mecánico cuántico.