Función delta a partir de los polos de la función de Green

En la teoría de dispersión de la mecánica cuántica, a menudo usamos las funciones de Green que contienen polos. Por ejemplo, en la mecánica cuántica de Schroedinger, la función de Green libre viene dada por

$$G_0(\vec{p}) = \frac{1}{E-\frac{p^2}{2m}+i\epsilon}$$

en el espacio de cantidad de movimiento donde la constante infinitesimal$\epsilon >0$se ha introducido para cuidar el poste en$E = \frac{p^2}{2m}$. La parte imaginaria de$G_0$es entonces

$$\text{Im}G_0 = -\frac{\epsilon}{(E-\frac{p^2}{2m})^2+\epsilon^2}$$

y dejando$\epsilon$va a cero, obtenemos (usando la fórmula de Sokhotski-Plemelj)

$$\lim_{\epsilon\to0}\text{Im}\,G_0=-\pi\delta\left(E-\frac{p^2}{2m}\right).$$

La función de Green completa viene dada por la ecuación de Dyson

$$G = G_0 + G_0 VG_0 + G_0VG_0VG_0+\ldots$$

con el potencial de dispersión$V$. Mirando el segundo término en la ecuación de Dyson, vemos que la función de Green libre aparece dos veces dando lugar a una expresión proporcional a$\frac{1}{(E-p^2/(2m)+i\epsilon)^2}$. Me pregunto cuál es la parte imaginaria de esta expresión. Físicamente, todavía debería haber alguna función delta porque la partícula física cumple la relación$E=\frac{p^2}{2m}$incluso después de la dispersión elástica, pero no veo cómo entra el delta en el juego. Entonces, ¿cómo puedo obtener una función delta de la fracción

$$\frac{1}{(E-\frac{p^2}{2m}+i\epsilon)^2}?$$