¿Cómo se deriva la ecuación de Lippmann-Schwinger?

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¿Cómo se deriva la ecuación de Lippmann-Schwinger?

Física
operadores
dispersión
greens-funciones
mecánica cuántica

Minethlos

Me gustaría saber la derivación de la ecuación de Lippmann-Schwinger (LSE) en el formalismo de operadores y en qué suposiciones se basa. Consulté el libro Ballentine como se recomienda en esta publicación de Phys.SE , pero todavía no lo entiendo.

Establece que si LSE se mantiene:

\begin{matrix} (1) & | ψ ⟩ = | ϕ ⟩ + {GRAMO}_{0} ({mi}^{+}) V | ψ ⟩ \end{matrix}

$|\psi\rangle = |\phi\rangle + G_0(E^+) V|\psi\rangle \tag{1}$

entonces $H|\psi\rangle = E|\psi\rangle$ o alternativamente

\begin{matrix} (2) & V | ψ ⟩ = (mi - H_{0}) | ψ ⟩ \end{matrix}

$V|\psi\rangle = (E-H_0)|\psi\rangle \tag{2}$

Aquí $H_0 |\phi\rangle = E |\phi\rangle$ y $G_0(E^+)$ significa un límite $G_0(E+i\eta)$ como $\eta \to 0$ .

Ahora bien, es fácil comprobar que $(1) \Rightarrow (2)$ . Pero, como dice el libro, $(1)$ contiene más información y creo que $(2) \nRightarrow (1)$ . Entonces, ¿cómo se deriva realmente la LSE? Si consideramos el problema $(2)$ entonces obviamente $|\psi\rangle = G_0(E^+) V|\psi\rangle$ también es una solución. Por qué necesitamos $|\phi\rangle$ ?

y por ultimo como es $|\psi\rangle$ definido? Si se define por $(2)$ entonces ¿por qué tiene los mismos valores propios que $|\phi\rangle$ tiene para $H_0$ ? ¿Por qué es cierto que el problema espectral $(2)$ tiene solucion?

Respuestas (1)

¿Cómo se deriva la ecuación de Lippmann-Schwinger?

dolún · Answer 1

La mayoría de las veces, un problema de dispersión ( elástica ) se puede reducir en:

Una onda inicial entrante / estado cuántico $|\phi\rangle$ , que la mayor parte del tiempo se toma como una onda plana / estado libre $|\textbf{k}\rangle$ Estado propio del hamiltoniano libre:
${\hat{H}}_{0} | ϕ ⟩ = mi | ϕ ⟩ con {\hat{H}}_{0} = - \frac{Δ}{2}$ $\hat{\mathcal{H}}_0\,|\phi\rangle=E\,|\phi\rangle\quad\text{with}\quad\hat{\mathcal{H}}_0=-\frac{\Delta}{2}$
Un potencial de dispersión $\hat{V}(\hat{\textbf{x}})$ , que a priori puede ser cualquier cosa (esféricamente simétrica, desordenada, etc).

Obviamente, en ese caso $|\phi\rangle$ ya no es un estado propio del hamiltoniano completo:

\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + \hat{V}

$\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}_0+\hat{V}$

Por supuesto, lo que quiere es encontrar tal estado propio que anotó $|\psi\rangle$ , de modo que :

\hat{H} | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩ es decir (mi - {\hat{H}}_{0}) | ψ ⟩ = \hat{V} | ψ ⟩

$\hat{\mathcal{H}}\,|\psi\rangle=E\,|\psi\rangle\quad\text{i.e.}\quad (E-\hat{\mathcal{H}}_0)|\psi\rangle=\hat{V}|\psi\rangle$ Tal ecuación no es más que una ecuación diferencial. Para resolverlo, primero hay que encontrar la solución homogénea, es decir, sin el segundo miembro

\hat{V} | ψ ⟩

$\hat{V}|\psi\rangle$ . Es fácil ver que la solución homogénea

| ψ ⟩_{h}

$|\psi\rangle_{h}$ es

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ .

La solución especial $|\psi\rangle_p$ se puede encontrar jugando un poco con las fórmulas. Por definición de la función de Green libre (retardada)

{\hat{GRAMO}}_{0} (ϵ) = \frac{1}{ϵ - {\hat{H}}_{0} + i η}

$\hat{G}_0(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon-\hat{\mathcal{H}}_0+\mathrm{i}\eta}$ tienes :

\underset{η \to 0}{límite} {\hat{GRAMO}}_{0}^{- 1} (ϵ) = mi - {\hat{H}}_{0} = {\hat{GRAMO}}_{0}^{- 1} (mi) con mi = \underset{η \to 0}{límite} ϵ + i η

$\lim_{\eta\rightarrow 0}\hat{G}_0^{-1}(\epsilon)=E-\hat{\mathcal{H}}_0=\hat{G}_0^{-1}(E)\quad\text{with}\quad E=\lim_{\eta\rightarrow 0}\epsilon+\mathrm{i}\eta$ Luego sigue

{\hat{GRAMO}}_{0}^{- 1} (mi) | ψ ⟩ = \hat{V} | ψ ⟩ es decir | ψ ⟩ = {\hat{GRAMO}}_{0} (mi) \hat{V} | ψ ⟩ = | ψ ⟩_{pag}

$\hat{G}_0^{-1}(E)|\psi\rangle=\hat{V}|\psi\rangle\quad\text{i.e.}\quad|\psi\rangle=\hat{G}_0(E)\hat{V}|\psi\rangle=|\psi\rangle_p$

Como siempre, la solución general de una ecuación diferencial es la suma de las soluciones homogénea y particular:

| ψ ⟩ = | ψ ⟩_{h} + | ψ ⟩_{pag} = | ϕ ⟩ + {\hat{GRAMO}}_{0} (mi) \hat{V} | ψ ⟩

$|\psi\rangle=|\psi\rangle_h+|\psi\rangle_p=|\phi\rangle+\hat{G}_0(E)\hat{V}|\psi\rangle$ que es la llamada ecuación de Lippmann Schwinger.

Entonces, ¿por qué $| \psi \rangle$ y $| \phi \rangle$ tienen las mismas energías propias $E$ ?
Debido a que tal derivación solo es válida para la dispersión elástica , es decir, la energía $E$ se conserva a través de todo el proceso.
@dolun: Excelente respuesta. pero si comparas $(E-H_0)|\psi\rangle = V|\psi\rangle$ en el espacio de posición con la forma de una EDO no homogénea, entonces en realidad no coinciden.

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