Factor de forma en la dispersión de Rutherford

Mi discusión sigue esencialmente este artículo.

Los factores de forma son una herramienta intuitiva y simple que se utiliza para describir las partículas que se dispersan desde objetivos extendidos. Aquí voy a mostrar cómo surge el factor de forma en el contexto de la dispersión de electrones sin espín.

Al igual que con muchos experimentos de dispersión, la cantidad que nos interesa es la sección transversal diferencial$\frac{d\sigma}{d\Omega}$de nuestros electrones dispersos fuera de nuestro objetivo. La sección transversal diferencial está relacionada con las amplitudes de dispersión a través de la relación:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{k}{k_i}|f(\theta,\phi)|^2$$ dónde $\theta$es el ángulo disperso.

Las amplitudes de dispersión$f(\theta,\phi)$se puede obtener en forma aproximada usando la Aproximación de Born. A primer orden (y hasta una normalización) la Aproximación de Born se puede escribir como:

$$f_{B1}=\int\phi_{k_f}^*(\vec{r})V(\vec{r})\phi_{k_i}(\vec{r})d^3\vec{r}$$

En la primera aproximación de Born, se supone que la onda entrante inicial y las ondas salientes son ondas planas de la forma:

$$\begin{align} \phi_{k_i}(\vec{r})=e^{ik_i\cdot r}\\ \phi_{k_f}(\vec{r})=e^{ik_f\cdot r} \end{align}$$

Podemos describir una distribución de carga extendida por$Ze\rho(\vec{r})$con

$$\int\rho(\vec{r})d^3\vec{r}=1$$

En este caso, el potencial experimentado por un electrón ubicado en$\vec{r}$viene dada por el potencial de Colomb:

$$V(\vec{r})=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|r-r'|}d^3\vec{r}'$$

Y sustituyendo este potencial en la expresión general de la primera aproximación de Born a las amplitudes de dispersión$f(\theta,\phi)$da

$$f_{B1}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int e^{\frac{iq\cdot r}{h}}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|r-r'|}d^3\vec{r}d^3\vec{r}'$$

Haciendo la sustitución$\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'$y notando que$d^3\vec{R}=d^3\vec{r}$

$$f_{B1}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{e^{\frac{iq\cdot \vec{R}}{h}}}{\vec{R}}d^3\vec{R} \left[\int e^{\frac{iq\cdot \vec{r}'}{h}}\rho(\vec{r}')d^3\vec{r}'\right]$$

Este factor entre corchetes se conoce como factor de forma ,$F(q)$.

$$F(q)=\int e^{\frac{iq\cdot \vec{r}'}{h}}\rho(\vec{r}')d^3\vec{r}'$$

Se puede demostrar que cuando la expresión para$f_{B1}$se utiliza para determinar$\frac{d\sigma}{d\Omega}$, eso:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{Ze}{4E}\right)^2\frac{1}{sin^4(\theta/2)}|F(q)|^2$$

Esta expresión puede interpretarse intuitivamente como dispersión de Rutherford modulada por el cuadrado del factor de forma. En otras palabras, la dispersión de electrones de una fuente extendida es igual a la dispersión de una fuente puntual modulada por el factor de forma .