Ecuación de Lippmann-Schwinger con soluciones salientes

Una forma de verlo es simplemente un truco matemático que codifica las condiciones de contorno de la ecuación de Schroedinger. Una vista alternativa y solo un poco más intuitiva es la siguiente. Para obtener solo soluciones salientes, es esencial suponer que el potencial de dispersión se activa lentamente de forma adiabática. Formalmente, uno puede lograr esto tratando el potencial de dispersión como una función del tiempo de la forma$V(r,t) = V(r)e^{\epsilon t}$, de modo que$V\to 0$para grandes negativos$t$. Trabajando a través del álgebra, encuentras que se logra exactamente el mismo efecto agregando un pequeño término imaginario$i\epsilon$a las energías en su lugar. Esto se analiza en Landau & Lifshitz QM , sección 43, y también se menciona en alguna parte de las extensas secciones sobre la teoría de la dispersión en el mismo texto. Como probablemente ya sepa, este procedimiento desplaza el polo de la función de Green en la dirección correcta para que capte la onda esférica saliente después de la integración del contorno en el plano de momento complejo.

Siempre que la interacción se active muy lentamente, el teorema adiabático le dice que el sistema permanecerá en el mismo estado propio, aunque la forma de ese estado propio cambie a medida que se altera el hamiltoniano. No es tan difícil creer que la deformación adiabática de un estado de onda plana coherente en el momento$\mathbf{k}$es de nuevo una onda en impulso$\mathbf{k}$, pero ahora con una pequeña componente de onda esférica saliente. Si, en cambio, activa el potencial de dispersión de forma abrupta, la 'sacudida' repentina que esto le da al sistema excitará los modos en todos los momentos posibles. La interferencia entre estos diferentes modos puede conducir a componentes de onda esférica entrantes y salientes, en general.

Estrictamente hablando, la adiabaticidad requiere que la interacción se active más lentamente que cualquier diferencia de frecuencia inversa. Para esparcir en un gran volumen$L^3$, esto es esencialmente imposible ya que las diferencias de frecuencia son proporcionales a$1/L^2$. Sin embargo, siempre que la interacción no se encienda infinitamente rápido (lo que, por supuesto, también es imposible), uno espera que los transitorios iniciales promedien eventualmente a cero, dejando solo la onda esférica saliente. Y, por supuesto, esto es lo que sucede en el experimento.

Primero, según entiendo la ecuación de Lippman-Schwinger, en realidad hay dos casos diferentes, indicados por el$\pm$está en la forma estándar de la ecuación:

De esta manera, estamos hablando no solo de la solución saliente (la$+$ecuaciones), pero también una solución entrante (la$-$). Además, el$i\epsilon$existe un término en la ecuación de Lippman-Schwinger antes de introducir la función de Green (puede introducir la función de Green mientras resuelve la ecuación).

Como se describe en la página de Wikipedia ( aquí ), el término complejo al que se refiere simplemente se introduce para evitar que la expresión explote por$(E-H_0)\rightarrow 0$. Puede integrar el contorno alrededor del poste entonces, de la manera habitual. Tal vez me equivoque (y me encantaría entender esto de una manera más profunda), pero no pienso en el$i\epsilon$término como físicamente interesante; en cambio, lo veo más como un truco matemático que nos permite resolver.