Frecuencia Doppler de la nave espacial

Espero que mi suposición sea correcta de que solo necesita ayuda para comprender de dónde proviene una ecuación que encontró en su libro, en lugar de que este haya sido un problema de tarea que se suponía que debía hacer. Apoyo totalmente la política aquí de no resolver los problemas de la tarea de las personas.

Desde el punto de partida de

$$w'=w\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\ ,$$

dividir el numerador y el denominador por$c$, donación

$$w'=w\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\ .$$

Como regla general, como se puede verificar mediante una expansión de Taylor, si$\epsilon \ll 1$, entonces

$$\frac{1}{1-\epsilon}\approx 1+\epsilon\ .$$

Señalando que$v/c \ll 1$, aplicamos esa aproximación a la expresión para$w'$dar

$$w'\approx w\sqrt{(1+v/c)(1+v/c)}\ ,$$

que, manteniendo sólo los términos bajo la raíz cuadrada que son de primer orden en$v/c$, da

$$w'\approx w\sqrt{1+2\frac{v}{c}}\ .$$

Otra regla general que se puede verificar con una expansión de Taylor es que si$\epsilon\ll 1$, entonces

$$\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\frac{\epsilon}{2}\ .$$

Aplicando eso a la ecuación anterior se obtiene

$$w'\approx w\left(1+\frac{v}{c}\right)\ .$$

Multiplicando ambos lados de esa ecuación por$1-v/c$y nuevamente manteniendo solo los términos que son de primer orden en$v/c$da

$$w'\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx w\ .$$

Un poco de álgebra simple reorganiza esa ecuación en

$$\frac{w'-w}{w'}\approx \frac{v}{c}\ ,$$

que dice lo mismo excepto por el uso de diferentes símbolos como

$$\frac{\Delta w}{w_{Doppler}}=\frac{\Delta u}{c}\ .$$