Transformaciones de Lorentz: ¿Qué sistema de coordenadas está marcado?

Question

Transformaciones de Lorentz: ¿Qué sistema de coordenadas está marcado?

jorge

Estoy confundido acerca de una pregunta básica de relatividad especial. Entonces tenemos las transformaciones de Lorentz

\begin{aligned} X^{'} & = γ (X - tu t) \\ t^{'} & = γ (t - tu X / C^{2}), \end{aligned}

$\begin{align} x' &= \gamma(x-ut) \\ t' &= \gamma(t-ux/c^2)\ , \end{align}$

donde marco $S'$ se mueve con velocidad $u$ en relación con el marco $S$ y los dos marcos coinciden en $t=t'=0$ .

Entonces mi confusión es: ¿Cómo sabes cuál debe ser el sistema de coordenadas marcado en una situación dada? (Sé que podría aplicar la fórmula para la contracción de longitud, pero me gustaría entenderlo de esta manera).

Pensé que lo había descubierto y que depende de la dirección del viaje: $S'$ se mueve con velocidad $u>0$ en la dirección positiva con respecto a $S$ . Y a primera vista esto funciona para mi ejemplo específico que dice así:

P: Se crea un muon a 6 km sobre la tierra, moviéndose hacia ella a $0.998c$ . Visto desde un marco que se mueve con el muón, ¿cuál es su distancia a la tierra?

R: Entonces siguiendo la lógica anterior al principio todo parece estar bien. Elijo dos marcos de referencia en los que la posición del muón es $y_{\mu}=y_{\mu}'=0$ en $t=t'=0$ , y el $y$ -los ejes están apuntando hacia arriba desde la tierra. En esta configuración, el marco que permanece inmóvil con respecto a la tierra se mueve en la dirección positiva del otro, por lo que este último debe ser el marcado.

Luego se mide la distancia a la Tierra a partir de ambos sistemas de coordenadas, siempre en $t=t'=0$ (En realidad, también estoy un poco confuso con esto, ¿se puede decir así?). En el marco marcado que permanece inmóvil en relación con la tierra, encontramos $y'_E=-6\text{km}$ . La distancia en este marco es por lo tanto

L^{'} = y_{m}^{'} - y_{mi}^{'} = 6 kilómetros .

$L'=y_{\mu}'-y'_E=6\text{km}\ .$

Ahora en el otro cuadro moviéndose con el muón obtenemos

L = y_{m} - y_{mi} = \frac{y_{m}^{'}}{γ} + tu t - (\frac{y_{mi}^{'}}{γ} + tu t) = \frac{L^{'}}{γ} = 379 metro,

$L=y_{\mu}-y_E=\frac{y_{\mu}'}{\gamma}+ut-\biggl(\frac{y_E'}{\gamma}+ut\biggr)=\frac{L'}{\gamma}=379\text{ m}\ ,$

y esto da la respuesta correcta de longitud contraída.

PROBLEMA: Si ahora invierto los sistemas de coordenadas, es decir, apuntando desde el muón hacia la Tierra (que debería estar completamente bien), obtengo la respuesta incorrecta usando la misma lógica. En este caso, el marco que se mueve con el muón viaja en la dirección positiva en relación con el otro, por lo que tengo la opción opuesta de qué marco está marcado.

¿Dónde está el error en la lógica?

david z

Ooh, esta es una pregunta muy bien escrita!

mago brillante

¿Podrías escribir la respuesta a la que llegaste para el sistema de coordenadas "al revés"?

Respuestas (1)

Transformaciones de Lorentz: ¿Qué sistema de coordenadas está marcado?

¿Podrías escribir la respuesta a la que llegaste para el sistema de coordenadas "al revés"?

innisfree · Answer 1

La "marca" (o quizás más correctamente, "principal") distingue dos marcos de referencia inerciales. Puede "marcar" cualquiera de los fotogramas como desee; es simplemente una notación, pero la convención que establezco a continuación es muy común.

La longitud es la distancia espacial entre "eventos" que ocurren al mismo tiempo: los eventos son la parte delantera y trasera de un objeto.
La "longitud adecuada" es la longitud en el marco en el que la parte delantera y trasera del objeto están en reposo. Este es el marco sin imprimar. $O$ . Denotemos la longitud propia por $L_0$ .
La "longitud contraída" es la longitud en un marco en el que la parte delantera y trasera del objeto no están en reposo, sino que se mueven a una velocidad constante. $v$ . Este es el marco preparado $O^\prime$ . Denotemos la longitud contraída por $L^\prime$

El cuatro vector entre el frente y la parte posterior del objeto en su marco de reposo es

Δ X^{m} = X_{F r o norte t}^{m} - X_{B a C k}^{m} = (0, L_{0}, 0, 0) .

$\Delta x^\mu = x^\mu_{Front} - x^\mu_{Back} = (0, L_0, 0, 0).$ Impulsando a un marco en el que el objeto no está en reposo, encontramos

(Δ X^{m})^{'} = (γ β L_{0}, γ L_{0}, 0, 0) .

$(\Delta x^\mu)^\prime = (\gamma\beta L_0, \gamma L_0, 0, 0).$ Ahora los eventos delantero y trasero no ocurren al mismo tiempo. Nos ajustamos a esto, encontrando la fórmula habitual para la contracción de longitud:

L^{'} = γ L_{0} - β d t = γ L_{0} - β^{2} γ L_{0} = L_{0} / γ

$L^\prime = \gamma L_0 - \beta \delta t = \gamma L_0 - \beta^2\gamma L_0 = L_0 / \gamma$ En esta fórmula, la longitud primada

L^{'}

$L^\prime$ debe ser la longitud en el marco en el que el objeto no está en reposo. Puede elegir una convención diferente para

O^{'}

$O^\prime$ y

O

$O$ si lo desea, pero no puede cambiar la física: la longitud se contrae en el marco en el que el objeto no está en reposo.

¡Gracias! Una pregunta: en este caso, los puntos finales (es decir, el muón y la Tierra) no están en reposo en ninguno de los sistemas de coordenadas. ¿Diría que algo así como la "vara de medir" que se usó entre la tierra y la apariencia del muón está en reposo en el sistema de coordenadas de la tierra? Además: ¿no debería ser posible entender exactamente cómo hacerlo simplemente usando las ecuaciones de transformación de Lorentz tal como están en el OP?

Transformaciones de Lorentz: ¿Qué sistema de coordenadas está marcado?

jorge

david z

mago brillante

Respuestas (1)

innisfree

jorge

Paradoja de la transformación de Lorentz

Longitud Contracción Confusión

Aplicación de transformaciones de Lorentz y dilatación del tiempo

Invariancia de Lorentz de la ecuación de onda

No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de longitud con la transformación de Lorentz

Transformaciones inversas de Lorentz

¿A qué velocidad el tiempo dilatado será el doble del tiempo en la tierra [cerrado]

Cinemática relativista - Desintegración de partículas de 2 cuerpos

Pasar de E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 a E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [cerrado]

Cohete de fotones reflectante