Cinemática relativista - Desintegración de partículas de 2 cuerpos

Considere el escenario donde una partícula de masa$M$se descompone en dos partículas más ligeras de masa$m_1$y$m_2.$En el marco del centro de masa (es decir,$\mathbf{p}_1$y$\mathbf{p}_2$, los momentos de los productos, suman cero) las ecuaciones para la magnitud de los momentos de cada una de las partículas son las siguientes:

$$p=\left|\mathbf{p}_1\right|=\left|\mathbf{p}_2\right|=\frac{\left[\left(M^2-(m_1+m_2)^2\right)\left(M^2-(m_1-m_2)^2\right)\right]^{1/2}}{2M}\,\,\,[\textrm{see ref., Eq. (45.16)}]$$

Sin embargo, cuando trato de calcularlo usando principios básicos, llego a algo diferente. Aquí está mi intento:

En el marco del centro de masa antes de la descomposición, la energía total del sistema era$E^2=M^2c^4$. Después del decaimiento, la energía total estuvo dada por

$$\begin{align*}E'^2&=p^2c^2+m_1^2c^4+p^2c^2+m_2^2c^4\\ &=2p^2c^2+(m_1^2+m_2^2)c^4\end{align*}$$

Como se supone que la energía se conserva (el marco de referencia es el mismo), esto significa que

$$\begin{align}M^2c^4&=2p^2c^2+(m_1^2+m_2^2)c^4\\ \implies p^2&=\frac{c^2}{2}\left(M^2-(m_1^2+m_2^2)\right)\\ p&=\frac{c}{\sqrt{2}}\sqrt{M^2-(m_1^2+m_2^2)}\end{align}$$

Mi respuesta parece completamente diferente de lo que se supone que debo obtener, así que estoy seguro de que mi enfoque es terriblemente inválido. Aunque no sé cómo. ¿Podría señalar mis errores y posiblemente guiarme en la dirección correcta?

[ref] http://pdg.lbl.gov/2013/reviews/rpp2013-rev-kinematics.pdf