Desplazamiento Doppler para un observador que acelera uniformemente

Question

Desplazamiento Doppler para un observador que acelera uniformemente

Sumisu Hiko

Esto se dio en el libro de texto como un ejemplo.

Un observador en una nave espacial con cuatro velocidades. $u$ se acerca desde $x = +\infty$ una estrella en reposo en el marco de referencia $S$ mientras se somete a una aceleración adecuada constante $a > 0$ . Su distancia de máxima aproximación es $a^{-1}$ . La estrella emite luz de frecuencia. $\omega_{star}$ . La frecuencia desplazada Doppler observada de la luz de la estrella es $\omega(\tau) = \omega_{star}e^{-a\tau}$

Ahora, ¿cómo obtuvieron eso como la frecuencia? Intenté mirar hacia atrás en el texto y buscar un ejemplo más elaborado, pero eso es todo. Sé que la ecuación para la frecuencia desplazada por Doppler es

v_{o b s} = v_{s o tu r C mi} \sqrt{\frac{1 + β}{1 - β}} .

$v_{obs} = v_{source}\sqrt\frac{1+\beta}{1-\beta}.$ Simplemente no sé cómo entra en juego la distancia para obtener la respuesta del ejemplo.

ingrese la descripción de la imagen aquí

BMS

¿Qué libro de texto es este?

Sumisu Hiko

@BMS este es un libro de texto escrito por un profesor de relatividad especial

Sumisu Hiko

@Rob Jeffries, el símbolo no es alfa sino 'a' que representa la aceleración adecuada y sí, tau es el momento adecuado

ProfRob

El desplazamiento Doppler observado dependerá de la distancia a la fuente si la nave espacial no apunta directamente a la fuente o si está acelerando. ¿Qué sistema de unidades estás usando dónde

a τ

$a \tau$ es sin unidad?

Sumisu Hiko

@Rob Jeffries Umm... ¿Supongo que estándar? Para ser honesto, no lo sé, ya que no hablamos de unidades en clase. Para la distancia había algo dado en clase. La línea de tiempo del barco es

x^{2} - t^{2} = a^{- 2}

$x^2 - t^2 = a^{-2}$ . He editado mi publicación original con una imagen de mis notas.

Respuestas (1)

Desplazamiento Doppler para un observador que acelera uniformemente

@BMS este es un libro de texto escrito por un profesor de relatividad especial
@Rob Jeffries, el símbolo no es alfa sino 'a' que representa la aceleración adecuada y sí, tau es el momento adecuado
El desplazamiento Doppler observado dependerá de la distancia a la fuente si la nave espacial no apunta directamente a la fuente o si está acelerando. ¿Qué sistema de unidades estás usando dónde $a \tau$ es sin unidad?
@Rob Jeffries Umm... ¿Supongo que estándar? Para ser honesto, no lo sé, ya que no hablamos de unidades en clase. Para la distancia había algo dado en clase. La línea de tiempo del barco es $x^2 - t^2 = a^{-2}$ . He editado mi publicación original con una imagen de mis notas.

ProfRob · Answer 1

Utilice la relación estándar entre la aceleración en los dos marcos de referencia.

es decir, la aceleración adecuada $a$ es dado por

a = γ^{3} \frac{d v}{d t}, γ = \frac{d t}{d τ}

$a = \gamma^3 \frac{dv}{dt}, \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma = \frac{dt}{d\tau}$

\frac{d v}{d τ} = \frac{d v}{d t} \frac{d t}{d τ} = γ^{- 2} a = (1 - v^{2}) a

$\frac{dv}{d\tau} = \frac{dv}{dt} \frac{dt}{d\tau} = \gamma^{-2} a = (1-v^2)a$

Esto se puede integrar para dar $v$ y por lo tanto $\gamma$ como una función de $\tau$ .

\int \frac{d v}{1 - v^{2}} = \int a d τ

$\int \frac{dv}{1-v^2} = \int a\ d\tau$ Dejar

v = \tanh (x)

$v = \tanh(x)$ y usar la identidad

1 - \tanh^{2} (x) = 1 / \cosh^{2} (x)

$1 - \tanh^2(x) = 1/\cosh^2(x)$

\frac{d v}{d X} = \frac{{aporrear}^{2} (X) - {pecado}^{2} (X)}{{aporrear}^{2} (X)} = \frac{1}{{aporrear}^{2} (X)}

$\frac{dv}{dx} = \frac{\cosh^2(x) - \sinh^2(x)}{\cosh^2(x)} = \frac{1}{\cosh^2(x)}$ y así la integral se convierte en

\int d X = \int a d τ

$\int dx = \int a\ d\tau$

{bronceado}^{- 1} (v) = a τ + A,

$\tanh^{-1} (v) = a\tau + A,$ dónde

A

$A$ es una constante determinada por la velocidad inicial.

Dejar $v=v_0$ cuando $\tau=0,$ por eso:

v = bronceado [a τ + {bronceado}^{- 1} (v_{0})]

$v = \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]$

El desplazamiento doppler se puede escribir como:

ω = ω_{0} (1 - v) γ

$\omega = \omega_0 (1-v)\gamma$

NB: Esta expresión viene de aquí , con la fuente en reposo, pero creo que solo es estrictamente válida cuando la velocidad del observador no cambia significativamente entre los frentes de onda. Para la luz óptica, esto requiere que (expresando $a$ en unidades SI por un momento) $a \ll 10^{24}$ EM $^{-2}$ - ¡lo que probablemente esté bien para una nave espacial!

ω = ω_{0} [1 - bronceado [a τ + {bronceado}^{- 1} (v_{0})]] {[1 - {bronceado}^{2} [a τ + {bronceado}^{- 1} (v_{0})]]}^{- 1 / 2}

$\omega = \omega_0\left[1 - \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]\left[1 - \tanh^2[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]^{-1/2}$

ω = ω_{0} [1 - bronceado [a τ + {bronceado}^{- 1} (v_{0})]] aporrear [a τ + {bronceado}^{- 1} (v_{0})]

$\omega = \omega_0 \left[1 - \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]\cosh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]$ .

Esta es la expresión general. Para el caso específico abordado por el OP, tenemos $v_0=0$ . En este caso:

ω = ω_{0} [1 - bronceado (a τ)] aporrear (a τ)

$\omega = \omega_0[1 - \tanh(a\tau)]\cosh(a\tau)$

ω = ω_{0} [\frac{aporrear (a τ) - pecado (a τ)}{aporrear (a τ)}] aporrear (a τ)

$\omega = \omega_0\left[\frac{\cosh(a\tau) - \sinh(a\tau)}{\cosh(a\tau)}\right] \cosh(a\tau)$ Expresando las funciones hiperbólicas en términos de exponenciales:

ω = \frac{ω_{0}}{2} [Exp (a τ) + Exp (- a τ) - Exp (a τ) + Exp (- a τ)] = ω_{0} Exp (- a τ)

$\omega = \frac{\omega_0}{2}[\exp(a\tau) + \exp(-a\tau) - \exp(a\tau) + \exp(-a\tau)] = \omega_0 \exp(-a\tau)$ según sea necesario.

Cochran 1989 (sección II) proporciona un tratamiento similar , lo que lleva al mismo resultado.

Se obtiene un resultado más útil al notar que una transformada de coordenadas de la forma

τ^{'} = τ + \frac{{bronceado}^{- 1} (v_{0})}{a}

$\tau^{\prime} = \tau + \frac{\tanh^{-1}(v_0)}{a}$ puede hacer la vida más fácil para los casos generales, ya que esto también conduce al resultado

ω = ω_{0} Exp (- a τ^{'})

$\omega = \omega_0 \exp(-a\tau^{\prime})$

Esto hace la vida más fácil; por ejemplo, podemos demostrar que recuperamos el desplazamiento Doppler estándar cuando $a=0$ , desde $a\tau^{\prime} = \tanh^{-1}(v_0)$ y entonces

ω = ω_{0} Exp [- {bronceado}^{- 1} (v_{0})] = ω_{0} Exp [- \frac{1}{2} en (\frac{1 + v_{0}}{1 - v_{0}})]

$\omega = \omega_0 \exp[-\tanh^{-1}(v_0)] = \omega_0 \exp\left[-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+v_0}{1-v_0}\right)\right]$

ω = ω_{0} {(\frac{1 + v_{0}}{1 - v_{0}})}^{- 1 / 2} = ω_{0} (1 - v_{0}) [(1 + v_{0}) (1 - v_{0})]^{- 1 / 2} = ω_{0} (1 - v_{0}) γ .

$\omega = \omega_0\left( \frac{1+v_0}{1-v_0}\right)^{-1/2} = \omega_0(1-v_0)[(1+v_0)(1-v_0)]^{-1/2} = \omega_0(1-v_0)\gamma\ .$

Rob Jeffries: " El desplazamiento Doppler se puede escribir como: $ω = ω_{0} (1 - v) γ .$ $\omega = \omega_0~(1 - v)~\gamma.$ ¿Afirma usted que esta relación se cumple exactamente, incluso si $a ≫ C ω_{0}$ $a \gg c~\omega_0$ ? De lo contrario, analice la aproximación que está utilizando; o (aún mejor) use una expresión exacta para "_el cambio doppler_" (en términos de $\omega_0$ , $v$ y $a$ ).
@ user12262 Creo que sé a lo que te refieres, ¿quizás podrías expandirte? Creo que la expresión que he usado está bien siempre que la velocidad del observador no cambie significativamente durante el tiempo entre frentes de onda. Prácticamente, esto significa que $a \omega_0^{-1} \ll c$ (NB: en mi respuesta, el sistema de unidades es tal que $c=1$ ). Así que para la luz óptica con $\omega_0 \sim 3\times 10^{15}$ s $^{-1}$ , significa que la aceleración uniforme debe ser mucho menor que $10^{24}$ EM $^{-1}$ , ¡lo cual parece razonable para una nave espacial!
Rob Jeffries: " [...] está bien, siempre y cuando la velocidad del observador no cambie significativamente durante el tiempo entre frentes de onda ". -- Bueno... creo que "tu expresión" $ω = ω_{0} (1 - v) γ$ $\omega = \omega_0~(1 - v)~\gamma$ no es perfectamente correcto incluso para un movimiento uniforme, incluso con $(Δ r \cdot v)^{2} = (Δ r)^{2} (v)^{2};$ $(\Delta \mathbf r \cdot \mathbf v)^2 = (\Delta \mathbf r)^2~(\mathbf v)^2 ;$ pero incluso entonces sólo si " $\Delta \mathbf r \cdot \mathbf v$ no invierte su signo entre los frentes de onda". (Por supuesto, es un "problema técnico" separado decidir qué considerar todavía " probablemente bien " en alguna circunstancia u otra).
Rob Jeffries: " NB: En mi respuesta, el sistema de unidades es tal que $c=1$ "- Eso está bien, supongo; sobre todo porque $1$ es explícitamente diferente de $0$ ; y siempre que (pueda) mantenerse alejado de la expresión que sería "mezclar manzanas y naranjas" (es decir, no usar expresiones como " $(a / \omega_0) - (\omega_0 / a)$ ", o algo así). Pero en cualquier caso, para ser coherente, debe eliminar cualquier referencia a la unidad " $\text m$ " de su respuesta, también.

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