Fórmula de dilatación del tiempo vs Transformación de Lorentz con señal de luz

Estoy confundido acerca de cuándo usar correctamente la fórmula de dilatación del tiempo$\Delta \tau=\frac{\Delta t}{\gamma}$o la transformación de Lorentz$c\Delta t = \gamma (c\Delta t-\beta \Delta x)$, especialmente cuando se trata de definir eventos para este problema.

Una nave espacial sale de la Tierra a 0.99c. Si está a 3*10^11 m de distancia cuando la Tierra le envía una señal de luz, ¿cuánto tardará la señal en llegar a la nave a) para un observador en la Tierra y b) para un pasajero en la nave?

Para a) no se necesita relatividad especial y obtienes 100 000 segundos para la perspectiva de la Tierra.

Para b) intenté hacerlo de dos maneras:

1. De acuerdo con la fórmula de dilatación del tiempo, 100 000 segundos para la Tierra son 14 106 segundos para la nave (usando$\gamma = 7.088$)

2. Definición de coordenadas para cada evento y uso de la transformación. Dejo que S sea el marco de la Tierra y que S' sea el marco del barco, donde el tiempo comienza cuando el barco deja la tierra. El evento 1 es cuando la Tierra envía la señal después de que la nave está lejos de la Tierra ($t_1, x_1$) = (1010, 0). El evento 2 es cuando la señal llega al barco ($t_2, x_2$) = ($101010, 3*10^{13}$). Sin embargo, si usa la transformación, obtiene una$\Delta t'=7090$.

Intenté usar un diagrama de Minkowski, y la diferencia parece reducirse a si coloca el evento 1 en el eje de la Tierra (x = 0) o en el eje del barco (x = 3 * 10 ^ 11). Sin embargo, ambas líneas de razonamiento me parecen válidas.

¿Que me estoy perdiendo aqui? ¿Cuál es realmente correcto? ¡Muchas gracias a cualquiera que pueda ayudar!