Escenario de dilatación del tiempo + contracción de la longitud

La respuesta de @JEB es perfectamente correcta, solo me gustaría agregar mi propia forma de pensar sobre este problema.

Es una buena idea comenzar siempre con las transformaciones de Lorentz al resolver este tipo de problemas en la relatividad especial, ya que el uso ciego de las fórmulas para la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo conducirá a tales "paradojas" que surgen de no tener claramente en cuenta las suposiciones hechas . que nos llevan a las fórmulas de contracción de longitud y dilatación de tiempo.

Supongamos que llamamos al marco en el que el tubo está en reposo$S^\prime$, y el cuadro "Tierra"$S$. Dados dos eventos en$S$,$(x_2, t_2)$y$(x_1, t_1)$, si queremos encontrar los eventos correspondientes en$S^\prime$,

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x^\prime &= \gamma \left(\Delta x - v \Delta t\right),\\ \Delta t^\prime &= \gamma \left(\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x\right). \end{aligned} \end{equation}$$

En su problema, sin embargo, se le dan los eventos en$S^\prime$y me gustaría encontrar los eventos correspondientes en$S$. Como resultado, necesitamos usar las transformaciones de Lorentz "inversas":

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x &= \gamma \left(\Delta x^\prime + v \Delta t^\prime\right),\\ \Delta t &= \gamma \left(\Delta t^\prime + \frac{v}{c^2}\Delta x^\prime\right), \end{aligned} \end{equation}$$

que se puede obtener manipulando algebraicamente las ecuaciones anteriores.

Ahora consideremos los eventos:

1. Evento 1: La luz sale del emisor.
2. Evento 2: La luz llega al detector.

Claramente, desde el punto de vista de alguien en$S^\prime$, estos dos eventos están separados por una distancia espacial de$\Delta x^\prime = 100$m, y ocurren después de un intervalo$\Delta t^\prime = 1$s.

Así, los intervalos espaciales y temporales observados por alguien en$S$son:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta x &= \gamma \left(100 + 80 \times 1\right) = \gamma \times 180 \text{m},\\ \Delta t &= \gamma \left(1 + \frac{80}{100^2}\times 100\right) = \gamma \times 1.8 \text{s}, \end{aligned} \end{equation}$$

IMPORTANTE: Tenga en cuenta que$\Delta t \neq \gamma \Delta t^\prime$, y$\Delta x \neq \Delta x^\prime/\gamma$! Volveremos a por qué este es el caso a continuación, pero es la razón de su respuesta errónea.

En cualquier caso, utilizando estos valores de$\Delta x$y$\Delta t$, Podemos ver eso

$$c = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\gamma\times 180}{\gamma \times 1.8} = 100 \text{m/s}$$

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¿Por qué no podemos usar aquí las fórmulas estándar de contracción de longitud y dilatación de tiempo?

• Para obtener una explicación sobre las suposiciones implícitas en la fórmula de dilatación del tiempo, consulte mi respuesta aquí .

• Del mismo modo, para obtener una explicación sobre los supuestos en la fórmula de contracción de longitud, consulte mi respuesta aquí .

Nombramos los extremos del tubo:$L$($R$) para el extremo de transmisión (recepción). Denominemos los eventos temporales: Tx (Rx) para el tiempo de transmisión (recepción).

Hay 4 eventos espacio-temporales relevantes, que mostraré en el marco del tubo como$(t'/{\rm s}, x'/{\rm m})'$(imprimado es para el marco móvil que se mueve junto con el tubo).

Los primeros tres eventos relevantes son:

1. $(0, 0)'$:$L$en Tx
2. $(1, 100)'$:$R$en prescripción
3. $(1, 0)'$:$L$en prescripción

Para calcular la velocidad de la luz, necesitas calcular las diferencias entre (1) y (2):

$$c' = \frac{100{\rm m}}{1 {\rm s}} = 100 {\rm m/s}$$

Ahora vamos a impulsarlos en el marco estacionario con orígenes coincidentes:

1. $(0, 0)$:$L$en Tx
2. $(3, 300)$:$R$en prescripción
3. $(1.67, 133.3)'$:$L$en prescripción

La velocidad de la luz sin imprimar es:

$$c = \frac{300{\rm m}}{3 {\rm s}} = 100\, {\rm m/s}$$

que funciona

Tenga en cuenta las coordenadas no imprimadas de (3), que es donde está el extremo izquierdo del tubo cuando la luz se recibe en el marco del tubo (cebado). Esto es lo que calculó en la primera parte de su proceso. Tenga en cuenta también que no es simultánea con la recepción en el marco de la Tierra, lo que significa que detuvo su reloj demasiado pronto y obtuvo una velocidad demasiado alta después de agregar la distancia del tubo contraído.

Si observa un cuarto evento, la posición del extremo derecho del tubo ($R$) apenas$\frac 1 {5^{th}}$de un segundo en el experimento:

4. $(0.2, 1)'$: R al mismo tiempo sin imprimar que (3)

en el marco de la Tierra (sin imprimar) es:

4. $(1.67, 1.93)$: R al mismo tiempo sin imprimar que (3)

es exactamente lo que calculaste.

Y eso fue: El tiempo entre la transmisión de la luz y la posición del receptor en el tiempo de la Tierra que coincidió con la posición del transmisor en el tiempo del Tubo que coincidió con la detección final de la luz.

Obviamente, un diagrama de Minkowski sería bastante útil para comprender realmente la geometría hiperbólica de lo que está sucediendo.

Finalmente: cuando surge una paradoja o un acertijo de la relatividad especial como este, generalmente es causado por la relatividad de la simultaneidad. Los eventos separados espacialmente no son simultáneos en todos los marcos.