¿Por qué ningún observador puede medir el tiempo adecuado aquí?

En mi opinión, la pregunta está mal formulada. Su respuesta depende en gran medida de una elección terminológica subjetiva o dependiente del contexto, no sólo de hechos físicos; deja algunos puntos importantes sin especificar; y confunde "ser indefinido" con "ser inconmensurable". Estas preocupaciones también se expresan en la respuesta de joigu y el comentario de RWBird. Permítanme abordar estos puntos a su vez.

Primero , si el término "momento adecuado" se puede usar para un camino similar a la luz es una cuestión de convención, elección personal y contexto. Si se trata de señales que se propagan con una velocidad inferior a$c$, entonces el término "tiempo propio" es apropiado y se puede calcular o medir (ver más abajo) para que sea mayor que cero. Si la velocidad de la señal se incrementa hasta tener un valor límite de$c$, el tiempo propio tendrá un valor límite de cero. En tal circunstancia, puede ser útil simplemente mantener el término "tiempo adecuado" y decir que su valor es cero cuando la señal se vuelve similar a la luz, en lugar de declarar que el término es repentinamente inaplicable en el caso límite. Este es un asunto de convención terminológica, no de física.

Este tipo de situaciones límite aparece a menudo en la relatividad. Considere, por ejemplo, esta cita de Gourgoulhon (2012):

Como consecuencia, en esa región, el tiempo propio (de observadores eulerianos) entre dos hipersuperficies vecinas tiende a cero como$t$aumenta

De hecho, la señal de radio podría estar propagándose a través de materia enrarecida, por ejemplo, y por lo tanto tener una velocidad inferior a$c$. En este caso podemos hablar de un tiempo propio distinto de cero del intervalo entre fuente y destino.

En segundo lugar , ser indefinido y no mensurable son dos cosas muy diferentes, y su distinción es muy importante en física. Por ejemplo, "Con respecto a las cantidades de campos electromagnéticos, tomamos la posición de que no son medibles excepto en el vacío " (Hutter & al 2006), y sin embargo definimostambién dentro de la materia, donde no son mensurables. La imposibilidad de medir conduce a varias definiciones y formulaciones diferentes (la formulación de Chu, la formulación de Minkowski y varias otras). Las definiciones no son equivalentes, pero las formulaciones son, sin embargo, equivalentes (y muchas de ellas se usan en la actualidad) porque conducen a las mismas predicciones para las cantidades que se pueden medir. Para una discusión de estos asuntos ver por ejemplo Penfield & Haus (1967) o Hutter & al (2006).

En el presente caso se podría incluso argumentar que ni siquiera tenemos un problema de definición, ver más abajo.

En tercer lugar , no está claro (al menos a partir del fragmento que cita) qué quieren decir los autores con "medir". El tiempo propio de un camino temporal representado por una curva.$C\colon [a,b] \to \text{spacetime}$viene dada por la integral (ver, por ejemplo, Misner & al 1973 p. 316)

Esta integral, que generalmente se puede llamar "longitud de camino", también se define para caminos similares a la luz y al espacio. Hay varias formas de medir la longitud del camino. Para un camino similar al tiempo, se puede medir directamente con un reloj que se mueve a lo largo de ese camino. Para caminos similares al espacio o mixtos, el procedimiento es un poco más complicado pero aún se basa en observadores que llevan relojes; ver la discusión esclarecedora en Frankel (1979) cap. 2, o en Landau & Lifshitz (1996) § 84. Es debido a la diferencia entre estas posibilidades que usamos el término "tiempo propio" en el caso temporal y "duración adecuada" (ver, por ejemplo, Misner & al 1973, p. 324 ) en el espacial.

Sin embargo, en todos los casos, la longitud del camino también puede ser medida por cualquier observador (lo suficientemente cerca de la región del camino) equipado con un "sistema de radar". Dicho observador básicamente mide y reconstruye el espacio-tiempo y su geometría 4D en un vecindario local y, por lo tanto, puede calcular las longitudes de cualquier camino en ese vecindario. Cualquier observador puede medir la longitud del camino de la señal de radio en cuestión con este mismo método. Yo también llamaría a esto una "medida". Después de todo, medimos el universo que nos rodea, y rara vez (o nunca) lo hacemos enviando observadores con relojes. Véase, por ejemplo, Dautcourt (1983) sobre esto. Komar (1965) podría citarse aquí:

En cualquier instante dado en el tiempo, un observador "ve" o recopila información simultáneamente de todos los eventos que se encuentran en su pasado cono nulo. [...] Los eventos, que podemos visualizar como estrellas en el cielo nocturno, no se distinguen ni ubican por medidas de distancia, sino exclusivamente por medidas de ángulo e intensidad relativa de la luz. Si deseamos considerar medidas que pueden extenderse sobre un intervalo de tiempo finito, también debemos incluir medidas de frecuencia.

Para resumir, descartaría todas las respuestas proporcionadas en la pregunta y daría esta respuesta en su lugar:

Si la señal se propaga con una velocidad inferior a$c$, su longitud de trayectoria [definida por la integral anterior] podría ser medida directamente por un observador que se mueva con la señal y lleve un reloj. Por esta razón llamamos a la longitud del camino "tiempo propio" en este caso. Pero también podría ser medido por cualquier otro observador lo suficientemente cercano mediante un sistema de mediciones de radar, y todos los observadores estarían de acuerdo en su valor (distinto de cero). Si la señal se propaga en un camino similar al de la luz, la longitud del camino no podría ser medida directamente por el observador portador del reloj y, por esta razón, es posible que no queramos llamarlo "tiempo propio". Pero aún podría ser medido por los observadores del sistema de radar, quienes estarían de acuerdo en un valor de cero; en algunas situaciones podríamos estar de acuerdo en llamar a este "tiempo propio" por conveniencia, ya que su valor cambia continuamente con deformaciones continuas de las rutas de la señal.

También me gustaría contraproponer esta pregunta (con suerte no relacionada), tomada de Gibson (1964):

(i) ¿Fomentamos en nuestras escuelas y colegios el espíritu de investigación, de escepticismo, de pensamiento aventurero, de adquirir experiencia y reflexionar sobre ella? ¿O primamos la docilidad, dando mayor reconocimiento a la capacidad del alumno para devolver palabra por palabra en los exámenes lo que se le ha dado?

Referencias

• Dautcourt (1983): El problema cosmológico como problema de valor inicial sobre el cono de luz pasado del observador: geometría .

• Frankel (1979): Curvatura gravitacional: una introducción a la teoría de Einstein (Freeman).

• Gibson (1964): Nuestra herencia de Galileo Galilei .

• Gourgoulhon (2012): 3+1 Formalismo en Relatividad General: Bases de la Relatividad Numérica ( arXiv ).

• Hutter, van der Ven, Ursescu (2006): Interacciones de materia de campo electromagnético en sólidos termoelásticos y fluidos viscosos .

• Komar (1965): Fundamentos de la Relatividad Especial y la Forma de la Osa Mayor .

• Landau, Lifshitz (1996): La teoría clásica de los campos .

• Misner, Thorne, Wheeler (1973): Gravitación .

• Penfield, Haus (1967): Electrodinámica de medios en movimiento .

Según Wikipedia ,

El tiempo propio solo se puede definir para caminos similares al tiempo a través del espacio-tiempo que permiten la construcción de un conjunto de reglas y relojes físicos que lo acompañan. Para caminos similares a la luz, no existe el concepto de tiempo propio y no está definido ya que el intervalo de espacio-tiempo es cero.

La ruta que conecta los 2 eventos que mencionó, es decir, el evento de la señal de radio emitida por Ajax y el evento de la señal que llega a Héctor, es una ruta similar a la luz. Para caminos como la luz, no existe el concepto de tiempo adecuado. Es indefinido. Esta es la razón por la que ningún observador puede medir el tiempo adecuado aquí, porque no está definido.

El tiempo propio es el tiempo experimentado por un solo reloj. Un intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos es un intervalo medido por un reloj que está presente en ambos; la duración del intervalo depende del camino tomado por el reloj, y es más largo para un reloj que puede considerarse estacionario. entre los dos eventos (es decir, un reloj que no ha experimentado ninguna aceleración).

Para medir un intervalo de tiempo adecuado entre la emisión de la señal por Ajax y su detección por Héctor, se necesitaría un reloj para viajar entre los dos eventos, lo cual no es posible ya que los relojes no pueden viajar a la velocidad de la luz.

Si la señal fuera reflejada por Héctor, entonces un reloj en Ajax podría medir el tiempo correcto en Ajax entre la emisión y el regreso de la señal, pero eso es bastante diferente al tiempo correcto a lo largo del camino de la señal.

Joigus señala que se sabe que el tiempo adecuado a lo largo del camino tomado por la señal es cero, pero supongo que quien hizo la pregunta del examen tomó la palabra 'medido' literalmente.

Las respuestas correctas son A, B o C. ¡La única que definitivamente está equivocada es la D! Cualquier observador inercial puede medir el tiempo propio. Es solo que resulta ser cero para las trayectorias de los objetos que se mueven a la velocidad de la luz. Pendiente de calificaciones en tiempo propio de lo que¿exactamente?; las señales en sí?, entonces la respuesta es cero; de las trayectorias de Ajax y Héctor? Si este último es el caso, entonces la respuesta puede obtenerse a partir del conocimiento de las velocidades medidas desde cualquier marco inercial. No es cero y corresponde al tiempo que miden en sus respectivos laboratorios, por ejemplo, usando relojes atómicos. Obviamente, no puede tener un reloj atómico sentado en un fotón y medir el tiempo de esa manera, pero puede estar seguro de que el tiempo adecuado para el fotón es cero, por lo que está bien definido.

No estoy diciendo que el hecho de que el tiempo adecuado para algunos movimientos sea idénticamente cero no plantee ningún problema. Lo hace. En la relatividad general, los aborda utilizando una técnica llamada "parámetros afines". Pero esa es otra historia. Y sí, el tiempo propio está bien definido en el caso descrito.