The Twin Paradox usando un marco de referencia que sigue al barco

Tal vez sea más esclarecedor mirar todo en un diagrama de espacio-tiempo. tenemos el marco de tierra con coordenadas$(t,x)$, y su trayectoria a través del espacio-tiempo es la línea azul. La trayectoria de la nave espacial es la roja.

Las líneas de mundo rectas son marcos de referencia inerciales, las líneas de mundo curvas o no rectas son marcos de referencia no inerciales. Está muy claro que la nave espacial es un marco no inercial, ya que tiene una línea de mundo curva, por lo tanto, es imposible encontrar un marco inercial adjunto a la nave, en el que pueda reclamar un estado de reposo durante todo el viaje, como querías tu solución ser.

Sin embargo, lo que consideró en sus cálculos es la siguiente idea: en el viaje de ida, el barco tiene un marco de inercia$(t',x')$unido a él, en el punto de giro, el barco cambia a otro marco de inercia$(t'',x'')$que se mueve en sentido contrario con la misma velocidad que en el viaje de ida.

Este acto de cambiar marcos inerciales es su regreso. ahora desde$S'$y$S''$son dos marcos inerciales en movimiento relativo (se mueven uno frente al otro), tienen diferentes concepciones de la simultaneidad. En el punto de cambio,$S'$afirma que los eventos en su eje de tiempo violeta son simultáneos. Después de cambiar a$S''$, cambia a otros ejes de tiempo y espacio, donde los eventos (o puntos) en la línea verde son lo que es simultáneo para$S''$. Está muy claro en el diagrama por qué este acto de cambiar crea este cambio en el tiempo que es tan desconcertante para ti.

Entonces, para resumir, el cambio en el tiempo es causado por el cambio entre dos marcos inerciales en movimiento relativo. Cuando cambia entre dos ejes de tiempo diferentes (y ejes espaciales, pero esto no es nuestro problema aquí), esto da como resultado este cambio en el tiempo de la Tierra hacia el futuro.

Editar : me equivoqué en la pregunta del OP. Quería preguntar cómo el cambio en el tiempo para el tiempo terrestre (eso es aproximadamente$15$años) es mayor que todo el viaje que es$10$años. Bueno, aunque no he comprobado tus cálculos, debes haber hecho algo mal. Es bastante sencillo cómo calcular el cambio en el tiempo$t_\text{shift}$del diagrama La línea azul del mundo se compone de tres partes, la primera parte que está antes de la intersección de la línea violeta con la línea azul a la que llamaré$\Delta t$, y el cambio en el tiempo$t_\text{shift}$, y la última parte que está después de la intersección de la línea verde con la línea azul a la que llamo$\Delta t$ya que por simetría del diagrama, es igual al primer intervalo de tiempo.

De modo que todo el tiempo de viaje por la tierra es:$t_\text{total}= \Delta t+ t_\text{shift}+ \Delta t=t_\text{shift}+2\Delta t$.

De modo que:$t_\text{shift}=t_\text{total}-2\Delta t$.

$\Delta t$es simplemente la hora en el reloj terrestre cuando el barco alcanzó el punto de giro (desde la perspectiva del barco), por lo tanto:$\Delta t= 2.53/\gamma=2.53/2=1.26$

Por lo tanto:$t_\text{shift}=10-2(1.26)=7.48$.

Así que el cambio en el tiempo debería ser$7.48$asumiendo que todo el viaje en la tierra es$10$años y eso lleva$2.53$años en el barco para llegar al punto de giro. Rehaz tus cálculos.

Edición adicional: voy a calcular analíticamente cuál es el cambio en el tiempo.

Cabe señalar que en el punto de giro, la nave espacial (que reclama un estado de reposo) tendrá coordenadas$(t,x)=(2.53,0)$, Debido a la dilatación del tiempo afirmará que$\dfrac{2.53}{2}=1.26$años han pasado en los relojes en el marco de la tierra.

Sin embargo, esto es diferente de lo que leerán los relojes en el marco terrestre. El problema se planteó de tal manera que las coordenadas de la tierra y la nave coinciden, es decir$(t,x)=(t',x')=(0,0)$.

De modo que, de acuerdo con la nave espacial en el punto de giro, el reloj terrestre marcará$1.26$años, y su posición estará dada por$-2.2$años luz. Sin embargo, debido a la relatividad de la simultaneidad, de acuerdo con el marco de la nave, los relojes en el marco de la tierra no están sincronizados, por lo que el reloj en el marco de la tierra ubicado en Alpha Centauri leerá$1.26+l_0v/c^2$años, no$1.26$años, donde$l_0$es la longitud restante entre la tierra y alfa.

Luego, la nave espacial cambia a otro marco con velocidad.$-0.87c$. Usted habló sobre el hecho de que dicho marco se moverá con$0.99c$con respecto al antiguo marco espacial y tendrá$\gamma=7.09$pero esto es totalmente irrelevante aquí. Lo que importa para los cálculos es que la nave ahora acaba de cambiar a otro marco que se mueve con$-0.87c$con respecto a la tierra, o en otras palabras, reclama un estado de reposo, mientras que la tierra se mueve con$0.87c$con respecto a ello.

Previamente calculamos que el reloj en Alpha Centauri leerá$1.26+l_0v/c^2$, este sigue siendo el caso y no ha cambiado. Sin embargo, debido a este cambio de marcos, el reloj en la tierra ya no leerá$1.26$años, se leerá$1.26+l_0v/c^2+l_0v/c^2$años, ese es el tiempo en alfa centuri$1.26+l_0v/c^2$más la diferencia horaria$l_0v/c^2$debido a la relatividad de la simultaneidad.

El cambio de hora en el reloj terrestre es la diferencia entre lo que marcaba el reloj cuando la nave espacial se movía con$0.87c$y luego cambió a$-0.87c$, eso es$t_\text{shift}= 1.26+l_0v/c^2+l_0v/c^2 -1.26=2l_0v=2(4.39)(0.87)=7.6$años como se calculó antes.

El eje de simultaneidad, o en otras palabras, el conjunto de eventos que son simultáneos medidos en el marco de reposo de la nave, de hecho cambia repentinamente cuando volvemos atrás. Esto se debe a que depende de su marco de referencia. No hay un solo marco de inercia que permanezca con la nave durante todo el viaje; puede aceptar que el marco no es inercial, lo que hace que sea mucho más difícil definir la simultaneidad, o puede cambiar de marco al mismo tiempo que retrocede. Pero si cambias de marco, el eje de simultaneidad también cambia, porque no es algo real: depende de tu marco.

Este tipo de "paradoja" se maneja mejor si te olvidas de tratar de dar algún tipo de sentido a la simultaneidad, porque como puedes ver, es una noción engañosa. Es mejor pensar en términos de eventos y diagramas de espacio-tiempo. De hecho, dibujar un diagrama puede ayudarte a comprender por qué la simultaneidad cambia repentinamente cuando retrocedes.