Comprender un paso en la derivación del efecto de contracción de longitud en relatividad especial

No está claro qué bit te está engañando, así que repasemos el argumento:

Esto se ve desde el marco de la Tierra, es decir, el marco en el que se mueve el reloj de luz. En este marco, la longitud i del reloj es$L$. En el viaje de ida la luz se mueve una distancia$L+ut_1$en un tiempo$t_1$, y como la luz se mueve a la velocidad de la luz, obtenemos:

$$L+ut_1 = ct_1$$

Asimismo para el viaje de regreso la luz se mueve una distancia$L-ut_2$en un tiempo$t_2$entonces:

$$L-ut_1 = ct_2$$

El tiempo total es por lo tanto:

$$t = t_1 + t_2 = \frac{2L}{c}\frac{1}{1 - u^2/c^2} \tag{1}$$

Ahora cambie al marco de descanso del reloj. En este marco la longitud del reloj es$L_0$. En este marco, la luz simplemente se mueve una distancia.$2L_0$en un tiempo$t_0$, y de nuevo la luz se mueve a la velocidad de la luz por lo que:

$$t_0 = \frac{2L}{c}$$

Ahora el libro usa el resultado derivado previamente de que:

$$t = \frac{t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \frac{2L_0/c}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \tag{2}$$

Esta es solo la ecuación habitual para la dilatación del tiempo. El tiempo$t$es el mismo tiempo en las ecuaciones (1) y (2), por lo que las igualamos para obtener:

$$\frac{2L}{c}\frac{1}{1 - u^2/c^2} = \frac{2L_0/c}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

Y esto se reorganiza al resultado final:

$$L = L_0\sqrt{1-u^2/c^2}$$

Pero tengo que decir que esta es una terrible derivación de la contracción de Lorentz porque no da una idea de lo que realmente sucede en la relatividad especial. La contracción no es realmente una contracción, es una rotación en el espacio-tiempo. Eche un vistazo a la "Realidad" de la contracción de longitud en SR para tener una idea de lo que realmente está sucediendo.

También te puede interesar ver ¿ Cómo obtengo la contracción de Lorentz del intervalo invariante? para ver cómo la contracción de Lorentz se relaciona con la simetría que subyace a la relatividad especial.