Tiempo propio máximo en el espacio-tiempo de Minkowski para partículas libres

Considere dos eventos A y B correspondiente al inicio y al final de las trayectorias de dos partículas masivas, respectivamente. La partícula denominada PAG 1 está en movimiento libre, y la otra partícula PAG 2 está en movimiento acelerado. Ambas partículas miden eventos. A y B como eventos que ocurren en el mismo lugar, en ambos marcos de reposo, por lo que ambas partículas también miden sus respectivos tiempos propios transcurridos entre estos eventos. ¿Cómo puedo probar que el tiempo propio de la partícula libre PAG 1 es mayor que el tiempo propio de la partícula acelerada PAG 2 ?

Publicación relacionada de OP: physics.stackexchange.com/q/529574/2451

Respuestas (2)

Si aproximamos la trayectoria acelerada de A a B , por norte pasos "inerciales":
A a A 1 , A 1 a A 2 ,..., A norte − 1 a B :

t A − A 1 ′ = γ 1 ( t 1 − v 1 Δ X 1 )
t A 1 − A 2 ′ = γ 2 ( t 2 − v 2 Δ X 2 )
.
.
.
t A norte − 1 − B ′ = γ norte ( t norte − v norte Δ X norte )

dónde t k es el tiempo de A k − 1 a A k medido por el marco de inercia, Δ X k es la diferencia de coordenadas X k − X k − 1 , medido también por el marco inercial. Y v k es la velocidad de cada paso.

Sumando los tiempos:

t A − B ′ = Σ γ k t k − Σ γ k v k Δ X k

Pero: Δ X k = v k t k

t A − B ′ = Σ γ k t k − Σ γ k v k 2 t k = Σ γ k t k ( 1 − v k 2 ) = Σ t k γ k

Como t A − B = Σ t k ⟹ t A − B > Σ t k γ k

t A − B > t A − B ′

El camino acelerado es el límite cuando el tiempo de cada paso llega a cero y el número de pasos llega al infinito.

Entendí tu enfoque, me gusta. Pero, ¿puedo usar el mismo argumento de enchufar norte marcos inerciales al caso contrario, es decir, si discretizo el tiempo medido por norte o norte − a C C mi yo mi r a t mi d   pag a r t i C yo mi por norte marcos inerciales?
Creo que no puedo porque si hago eso obtengo la respuesta contraria. ¿Puede argumentar por qué no puedo usar el análisis opuesto?
Cualquier marco inercial es equivalente en relatividad especial. Pero si se elige uno, todas las matemáticas deben calcularse en ese marco.
Entonces, su enfoque es correcto, porque todos los análisis se realizan en el mismo marco, el resto del marco de la partícula libre. Entonces, ¿mi intento es incorrecto porque estoy haciendo el análisis desde el punto de vista de muchos marcos de referencia inerciales diferentes?
Sí. Es como la paradoja de los gemelos, que utiliza 2 pasos. Puede elegir el marco de tierra, el marco de ida del gemelo viajero o el marco de regreso del gemelo viajero. Pero no hay un "chasis gemelo de viajero", porque hay dos de ellos, completamente diferentes.

Es bastante obvio a partir de la acción de partículas masivas:

S = − metro C 2 ∫ d τ
dónde τ es el tiempo propio de la partícula.

Tenga en cuenta que debido al signo menos en acción, las partículas se mueven en la trayectoria con el tiempo propio máximo, y esta trayectoria es de movimiento libre, como consecuencia de la ausencia de fuerza. Por lo que cualquier otra trayectoria tendrá mayor valor de acción y menor tiempo propio.

Tiempo propio máximo en el espacio-tiempo de Minkowski para partículas libres
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