Paradoja de la transformación de Lorentz

Entonces sé que la distancia para Adam en el marco de referencia S es 1.44⋅1012m y la velocidad de la pelota es 0.385c

Esto es cierto.

aquí es donde se rompe mi intuición porque esto significa que la pelota parece necesitar menos tiempo para llegar a Sam que el tiempo que necesita para cruzar 1.44⋅1012m si tiene una velocidad de 0.385c.

no tiene que cruzar$1.44 \cdot 10^{12}\; \mathrm{m}$según Adán.

Recuerda, según Adam, durante el tiempo que la pelota viaja hacia la izquierda en$0.385c$, Sam viaja hacia la derecha en$0.6c$; la pelota no recorre toda la distancia de separación inicial antes de llegar a Sam.

Solo hay que establecer la relación

$$\left(0.6 + 0.385\right) c\Delta t = 1.44 \cdot 10^{12}\; \mathrm{m}$$

encontrar el tiempo de vuelo según Adán para ser

$$\Delta t = 4875\; \mathrm s$$

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pero ¿por qué la fórmula de la dilatación del tiempo no es válida en este caso?

La fórmula de la dilatación del tiempo es válida en este caso si se aplica correctamente. La fórmula de dilatación del tiempo relaciona el tiempo coordinado con el tiempo propio (el tiempo transcurrido según un solo reloj).

En este caso, el tiempo propio relevante es el tiempo transcurrido según el reloj de la pelota . Esta es una invariante, es decir, Adam, Sam y Leyla están de acuerdo en el tiempo transcurrido según la pelota.

De acuerdo con la fórmula de dilatación del tiempo, el tiempo transcurrido según el reloj de la pelota es

$$\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma_v}$$

Desde$\Delta \tau$es invariante , entonces tenemos

$$\frac{\Delta t'}{\gamma_{0.8c}} = \Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma_{0.385c}}$$

o

$$\Delta t = \frac{\gamma_{0.385c}}{\gamma_{0.8c}}\Delta t' = \frac{1.0835}{1.6667}7500 \; \mathrm s = 4875\; \mathrm s$$

la dilatación del tiempo establece que los relojes en los marcos de referencia en movimiento deben funcionar más lentamente y, por lo tanto, medir intervalos más cortos

Eso es correcto; si uno calcula el tiempo transcurrido de acuerdo con la pelota, de hecho es menor que el tiempo de coordenadas transcurrido:

$$\Delta \tau = 4500 \; \mathrm s$$

Veo que ha aceptado la respuesta de Alfred, pero para que conste, es muy arriesgado responder preguntas como esta (especialmente en un examen) usando las fórmulas de dilatación de tiempo/contracción de longitud y factores de onda de$\gamma$alrededor. La forma en que el examinador esperará que lo haga es usar las transformaciones de Lorentz, y la pregunta generalmente se habrá diseñado con eso en mente.

En este caso, el primer paso es dibujar la geometría en el marco de reposo de Layla y Sam. Parece que:

Estamos tomando el marco de Layla y Sam como el resto del marco, así que lo he llamado$S$. En este cuadro, Layla y Sam están separados por una distancia.$d$($1.8 \times 10^{12}$m) y Layla lanza la pelota con una velocidad$u$($0.8c$). Así que la pelota llega a Sam en$(t = d/u, x = d)$. Para responder a la pregunta, simplemente transformamos estos dos eventos en el marco de Adán.$S'$.

Como de costumbre, hacemos la vida más fácil eligiendo nuestras coordenadas para que los orígenes coincidan cuando Adam pasa a Layla, y podemos tomar esto sin pérdida de generalidad como el momento en que Layla lanza la pelota. Así que la pelota se lanza al punto del espacio-tiempo$(0, 0)$en$S$y$S'$.

Ahora transformamos el punto$(d/u, d)$de$S$a$S'$. En realidad solo necesitamos$t'$porque la pregunta es cuándo atrapa Sam la pelota, no dónde . Así que simplemente conectamos nuestros números en la transformación de Lorentz por tiempo:

$$\begin{align} t' &= \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right) \\ &= \gamma \left( \frac{d}{u} - \frac{vd}{c^2} \right) \end{align}$$

Simplemente inserte los valores para$u$,$d$y$v$, y encontrará que el resultado es 4875 segundos.

No puedo enfatizar lo suficiente lo peligroso que es usar la fórmula de dilatación del tiempo a menos que realmente entiendas lo que estás haciendo. Está bien para físicos experimentados como Alfred, pero nadie comienza de esa manera, y tu confusión con la respuesta de Alfred ilustra mi punto. Por el contrario, usar las transformaciones de Lorentz, como he demostrado, es inequívoco y directo. Lo único difícil es tener claro qué eventos debes elegir.

¡Se acabó el sermón!