Formas diferenciales como funcionales sobre curvas

Por favor, dame una referencia a un libro o notas de clase donde se estudie lo siguiente.

Dejar$M$sea ​​una superficie de Riemann con límite$\partial M$(pero no necesariamente, cualquier suave$n$La variedad bidimensional es suficiente si las siguientes afirmaciones tienen sentido en este caso).

1. ¿Qué significa para$1$-forma$\omega$en$M$tener$\int\limits_\gamma \omega = 0$ $(\operatorname{mod} 2\pi)$para cualquier lazo cerrado$\gamma$?
2. Si$\omega_1$,$\ldots$,$\omega_N$son formas cerradas que forman una base de$H^1(M)$(cohomología de-Rham) entonces hay bucles equivalentes no homotópicamente$\gamma_1$,$\ldots$,$\gamma_N$en$M$tal que$\int_{\gamma_i} \omega_j = \delta_{ij}$. ¿Cómo probar esto? ¿Es posible decir más sobre estos$\gamma_1$,$\ldots$,$\gamma_N$? ¿Tienen alguna interpretación en términos de$H_1(M)$(homología singular)?
3. Como en 2., si$\omega_1$,$\ldots$,$\omega_N$son 1-formas cerradas que forman una base de$H^1(M,\partial M)$existen bucles no homotópicamente equivalentes$\gamma_1$,$\ldots$,$\gamma_N$, no homotópicamente equivalente a cualquier componente de$\partial M$, tal que$\int_{\gamma_i} \omega_j = \delta_{ij}$. ¿Qué podemos decir sobre estas curvas en comparación con la pregunta 2?