Estoy empezando a estudiar variedades de dimensión infinita, específicamente, variedades de Banach. Encontré algunos textos introductorios interesantes en los que se desarrolla con cierto detalle el trasfondo matemático. Sin embargo, no puedo encontrar algún tratamiento orgánico de la geometría diferencial de las órbitas de una acción suave (analítica) de un grupo de Banach-Lie de dimensión infinita. en variedades de Banach . Estoy particularmente interesado en el caso de acciones no propias, y me gustaría saber si y bajo qué suposiciones las órbitas son variedades de Banach.
¿Existen artículos/libros que desarrollen el tema?
Gracias.
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Aquí y en "Bourbaki: Lie groups and Lie algebras, chapters 2 and 3", encontré que, siempre que el subgrupo de isotropía en es un subgrupo de Lie dividido de (es decir, un subgrupo que es un grupo de Lie en la topología del subespacio), entonces es una variedad de Banach analítica, y es una sumersión. Claramente, hay una biyección de a la órbita a través de . ¿Qué tengo que hacer para asegurarme de que la biyección vueltas en una variedad de Banach?
Aquí hay algunas respuestas parciales: Se sabe que las acciones de grupo de Banach Lie en variedades de dimensión finita están bastante restringidas. Lo que quiero decir con esto es: debido a un teorema de Omori, ver
Hideki Omori, Sobre los grupos de Banach-Lie que actúan sobre variedades de dimensión finita, Tohoku Math. J. (2) 30 (2), 223-250, 1978
si un grupo de Banach-Lie actúa de manera suave, efectiva y transitiva en una variedad de dimensión finita, entonces automáticamente es de dimensión finita. Por lo tanto, para muchas variedades que surgen, uno solo puede considerar acciones que no satisfacen estos requisitos o uno se ve forzado a salir de la clase de grupos de Banach Lie (por ejemplo, si uno considera grupos de difeomorfismo de variedades de dimensión finita).
Los teoremas del cociente, o estructuras suaves en órbitas para acciones grupales de dimensión infinita, son en general mucho más difíciles de establecer que en el caso de dimensión finita. Se puede hacer algo similar a lo que solicita utilizando los resultados de las inmersiones en la configuración de dimensión infinita, por ejemplo, en
Helge Glöckner: Fundamentos de sumersiones e inmersiones entre variedades de dimensión infinita. arXiv:1502.05795
También en su entorno, una versión del teorema de Godements (consulte las referencias en el último documento) está disponible y podría ser útil.
usuario98602