Restricción de la clase de cohomología DeRham de una subvariedad a un entorno de coordenadas.

Question

Restricción de la clase de cohomología DeRham de una subvariedad a un entorno de coordenadas.

Matemáticas
homología-cohomología
geometría diferencial

set

Suponer $M$ es un $n$ -múltiple y $A$ a $k$ Subvariedad bidimensional, tanto compacta como orientada. Sea la clase de cohomología de deRham de $A$ ser denotado $[\phi_A]$ . La clase está definida por

\int_{METRO} ϕ_{A} \land ω = \int_{A} ω

$\int_M\phi_A\wedge\omega=\int_A\omega$ por cada cerrado

k

$k$ -forma

ω

$\omega$ en

M

$M$ .

Si $U$ es una vecindad coordinada se sigue que

\int_{tu} ϕ_{A} \land ω = \int_{A \cap tu} ω

$\int_U\phi_A\wedge\omega=\int_{A\cap U}\omega$ por cada cerrado

k

$k$ -forma

ω

$\omega$ en

M

$M$ ?

Aquí tomamos restricciones de formas según sea necesario para que las declaraciones tengan sentido.

Yuan Qiaochu

Que quieres decir con

\int_{A \cap U} ω

$\int_{A \cap U} \omega$ si

A \cap U

$A \cap U$ no es una subvariedad compacta orientada de

U

$U$ ?

set

Desde

A \cap U

$A\cap U$ tiene un solo gráfico de coordenadas que la integral tiene sentido, ¿verdad?

Respuestas (1)

Restricción de la clase de cohomología DeRham de una subvariedad a un entorno de coordenadas.

Que quieres decir con $\int_{A \cap U} \omega$ si $A \cap U$ no es una subvariedad compacta orientada de $U$ ?
Desde $A\cap U$ tiene un solo gráfico de coordenadas que la integral tiene sentido, ¿verdad?

usuario99914 · Answer 1

Tenga en cuenta que $\phi_A$ se define hasta una forma exacta $d\alpha$ y

\int_{tu} (ϕ_{A} + d α) \land ω = \int_{tu} ϕ_{A} \land ω + \int_{tu} d (α \land w)

$\int_U (\phi_A + d\alpha) \wedge \omega = \int_U \phi_A \wedge \omega + \int_U d(\alpha\wedge w)$

y

\int_{tu} d (α \land ω) = \int_{\partial tu} α \land ω

$\int_U d(\alpha\wedge \omega) = \int_{\partial U} \alpha \wedge \omega$

Entonces, la LHS de tu ecuación no está bien definida si $\partial U \neq \emptyset$ .

si consideras que $\omega$ es de soporte compacto en $U$ , entonces puedes extender $\omega$ por $0$ a $M$ , y todo se reduce a tu primera ecuación.

si no me equivoco $U$ no tendría límite como una variedad, solo límite topológico en $M$ . Así que no estoy seguro de que esto sea un problema. ¿Estás de acuerdo conmigo o en desacuerdo?
Creo que el problema es que la dualidad de Poincaré generalmente no se aplica en variedades y subvariedades no cerradas. uno puede tomar $U$ tener un límite suave para que se aplique el teorema de Stokes. @Seth

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Yuan Qiaochu

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