¿Libro de análisis complejo con vistas a las superficies de Riemann?

Estoy considerando el análisis complejo como mi próxima área de estudio. Ya hay algunos hilos que preguntan sobre textos de análisis complejo (consulte Libro de análisis complejo y ¿Qué es un buen libro de texto de análisis complejo? ). Sin embargo, estoy buscando algo un poco más específico, si tal cosa existe.

¿Hay algún texto de análisis complejo introductorio agradable y de ritmo lento que presente al menos algún material (introductorio) sobre las superficies de Riemann?

Una mirada a través de los textos mencionados en las páginas vinculadas anteriormente no arrojó ninguno. No me gusta mucho el análisis y tiendo a favorecer áreas de las matemáticas más algebraicas, topológicas y geométricas. Sin embargo, estoy tratando de aprender al menos en un nivel básico las disciplinas básicas de las matemáticas, y siento que estaría mal si no estudiara el análisis complejo. Para antecedentes: tengo conocimientos básicos de análisis real, álgebra (teoría de grupos, anillos y campos), álgebra lineal y tendré conocimientos de topología.

Además de mi deseo anterior en un texto de análisis complejo: ¿hay alguno que recomendaría por su visión de las aplicaciones algebraicas, topológicas o geométricas del análisis complejo?

Cualquier nota de clase en línea (o libro económico) sobre superficies de Riemann que sea accesible después o junto con una introducción al análisis complejo también sería bienvenida.

EDITAR: Después de lo que se ha desarrollado, creo que esta pregunta ahora es apropiada: ¿Existe un texto de análisis complejo que sería particularmente recomendado si uno desea estudiar las superficies de Riemann? ¿Qué temas en particular es importante desarrollar una buena comprensión?

Deberá aprender una buena cantidad de análisis complejo antes de estudiar las superficies de Riemann. Una vez que haya hecho eso, el libro de Miranda que se menciona a continuación es probablemente su mejor opción, dado (cómo lo percibo) su nivel de madurez matemática. Otra opción es la "Introducción a las curvas algebraicas" de Griffith.
Tuve la sensación de que ese podría ser el caso y esa podría ser la razón por la que no estaba viendo introducciones en los libros de análisis complejo. Eso es lo que quería saber. Gracias.
Se agregó una nueva pregunta arriba.
Con respecto a su nueva pregunta: el material de un curso universitario habitual de un semestre debería ser suficiente. El teorema de Cauchy, la teoría de los residuos, el principio del máximo, el teorema de la aplicación abierta y el hecho de que las funciones holomorfas tienen expansiones en serie de potencias, como mínimo. Aunque probablemente sea útil saber más. Por ejemplo, Miranda usa el teorema de Mittag-Leffler para motivar el intento de resolver los problemas de Mittag-Leffler en las superficies de Riemann y la teoría de la cohomología resultante (pero eso no es hasta la mitad del libro).
Muy útil, gracias.

Respuestas (3)

El análisis complejo en una variable de Narasimhan-Nievergelt es exactamente el libro que desea.

Es completamente geométrico y te introducirá, desde cero, no solo a las superficies de Riemann sino también a la teoría o funciones holomorfas de varias variables, cubriendo espacios, cohomología,...
Este libro único enfatiza lo poco que tienes que saber de las función clásica de una variable compleja: solo las cuarenta páginas del Capítulo 1, acertadamente llamado Teoría elemental de las funciones holomorfas .
Un libro con una filosofía similar es Analyse Complexe de Dolbeault, el de la cohomología de Dolbeault, que tiene el inconveniente de estar en francés (aunque en francés matemático, que dista mucho de Mallarmé o del francés de Proust...)

Es un hecho subestimado, que se muestra en ambos libros, que la mayor parte del material que se encuentra en los libros sobre análisis complejo de una variable es inútil para el estudio de superficies de Riemann y, en general, variedades complejas.
Por ejemplo, todos los cálculos inteligentes de integrales reales mediante cálculo de residuos, evaluación del radio de convergencia de series de potencias, métodos asintóticos, productos de Weierstraß, transformaciones de Schwarz-Christoffel, ... son irrelevantes en geometría analítica compleja: desafío a cualquiera a encontrar el más mínimo rastro. de estos en el trabajo del recientemente fallecido H. Grauert, posiblemente el mayor especialista del siglo XX en la geometría de espacios analíticos complejos.

¿Crees que el primer libro es accesible para alguien con mis antecedentes (ver pregunta)? ¿Realmente introduce cosas como cubrir espacios y cohomología sin presuponer un conocimiento de topología algebraica? ¿Cree que cubre los conceptos básicos del análisis complejo que uno debería saber? Es posible que desee trabajar hacia las superficies de Riemann, pero no sacrificar los temas que aprendería en un texto más típico.
Sí, sí y sí. No tiene que sacrificar nada: mi punto es que necesita un análisis poco complejo para comprender la geometría de las superficies de Riemann. Las funciones holomorfas son un tema maravilloso, intrínsecamente hermoso y que vale la pena estudiar, con muchas aplicaciones en matemáticas y física. Pero no es de eso de lo que trata tu pregunta.
Entiendo. Gracias.

Recomiendo encarecidamente Curvas algebraicas y Superficies de Riemann del Prof. Rick Miranda.

Sin embargo, ¿tendría que venir después de que aprendiera un análisis complejo? Esa es la impresión que me da la descripción.
Sí, pero tal es la naturaleza del tema. Se requiere un conocimiento sólido de análisis complejo para cualquier estudio de superficies de Riemann.
Por ejemplo, debe poder responder la siguiente pregunta para leer el libro de Miranda. La pregunta está relacionada con el libro de Forster sobre las superficies de Riemann, pero Miranda también usa el resultado sin una demostración. matemáticas.stackexchange.com/questions/200012/…

Jones y Singerman, Funciones complejas: un punto de vista algebraico y geométrico .

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