Formas diferenciales que desaparecen en cohomología

No, esto no siempre es posible. Se pueden utilizar formas diferenciales para definir operaciones de cohomología de orden superior denominadas productos de Massey y, si no desaparecen, existe un obstáculo para la posibilidad de elegir representantes con producto de cuña cero.

Permítanme describir la configuración básica. Supongamos que nos dan tres clases de cohomología$[x] \in H^k(X), [y] \in H^l(X), [z] \in H^m(X)$tal que$[x \wedge y] = [y \wedge z] = 0$. Entonces uno puede definir una clase de cohomología

$$\left< [x], [y], [z] \right> \in H^{k+l+m-1}(X) / \left( [x] \cdot H^{l+m-1}(X) + [z] \cdot H^{k+l-1}(X) \right)$$ por la siguiente construcción: Elija$\lambda$tal que$x \wedge y = d \lambda$y$\mu$tal que$y \wedge z = d \mu$y establecer $$\left< [x], [y], [z] \right> = \left[ \lambda \wedge z - (-1)^k x \wedge \mu \right].$$

Esta operación se denomina triple producto de Massey y se puede comprobar que es independiente de los representantes elegidos para las clases de cohomología$[x],[y],[z]$.

Ahora suponga que$[\eta] \in H^1(X), [\omega] \in H^1(X)$tal que$[\eta \wedge \omega] = 0$. Entonces también tenemos$[\eta \wedge \eta] = 0$(como$\eta$es de una sola forma), por lo que el producto triple de Massey$\left< [\eta],[\eta],[\omega] \right>$está bien definido. Si uno puede elegir representantes$\eta' \in [\eta], \omega' \in [\omega]$con$\eta' \wedge \omega' = 0$entonces trabajando con$\eta', \omega'$en lugar de$\eta,\omega$, podemos tomar$\lambda = \mu = 0$y luego$\eta' \wedge \eta' = 0 = d\lambda, \eta' \wedge \omega' = 0 = d\mu$y entonces

$$\left< [\eta], [\eta], [\omega] \right> = \left< [\eta'], [\eta'], [\omega'] \right> = \left[ 0 \wedge \omega' + \eta' \wedge 0 \right] = [0].$$

Por lo tanto, cualquier variedad$X$en el que existe$[\eta], [\omega] \in H^1(X)$con$[\eta \wedge \omega] = 0$y$\left< [\eta], [\eta], [\omega] \right> \neq 0$le daré un contraejemplo. Por ejemplo, uno puede tomar$X$ser un$S^1$-abrázate$\mathbb{T}^2$cuya clase de Euler es uno. Para la construcción explícita, el cálculo y más detalles sobre el producto triple de Massey, lo remito a las páginas 136-137 de "Geometría de formas diferenciales" de Morita.