Dejar sea una variedad diferenciable suave. Considere en un cerrado -forma y un cerrado -forma , que tienen clases de cohomología asociadas y .
Ahora suponga que su producto de cuña es cero en cohomología . Mi pregunta es:
¿Es siempre posible encontrar elementos cohomológicamente equivalentes? y tal que (es decir, tal que el producto de cuña es realmente cero, no solo en cohomología)?
Ingenuamente, uno necesita determinar si la forma exacta haciendo siempre se puede escribir en la forma para algunos y . Pero esta parece una pregunta difícil, así que me pregunto si hay un mejor argumento.
No, esto no siempre es posible. Se pueden utilizar formas diferenciales para definir operaciones de cohomología de orden superior denominadas productos de Massey y, si no desaparecen, existe un obstáculo para la posibilidad de elegir representantes con producto de cuña cero.
Permítanme describir la configuración básica. Supongamos que nos dan tres clases de cohomología tal que . Entonces uno puede definir una clase de cohomología
Esta operación se denomina triple producto de Massey y se puede comprobar que es independiente de los representantes elegidos para las clases de cohomología .
Ahora suponga que tal que . Entonces también tenemos (como es de una sola forma), por lo que el producto triple de Massey está bien definido. Si uno puede elegir representantes con entonces trabajando con en lugar de , podemos tomar y luego y entonces
Por lo tanto, cualquier variedad en el que existe con y le daré un contraejemplo. Por ejemplo, uno puede tomar ser un -abrázate cuya clase de Euler es uno. Para la construcción explícita, el cálculo y más detalles sobre el producto triple de Massey, lo remito a las páginas 136-137 de "Geometría de formas diferenciales" de Morita.