Retroceso diagonal en el espacio de cohomología del producto

Recientemente me presentaron la cohomología de De Rham y, aunque nos dieron una descripción general básica, no hubo pistas para un contexto más amplio. Como encontré la pequeña información que obtuvimos extremadamente interesante, estoy tratando de profundizar más (las recomendaciones para la literatura serán muy apreciadas).

Mi pregunta se relaciona con el producto vectorial que definimos de la siguiente manera:
Sea$M,N$ser variedades suaves. Con$\pi_M$y$\pi_N$que denota las proyecciones naturales para el espacio del producto$M \times N$podemos definir un producto bien definido por:

$$\begin{align*} \times : H^*(M) \times H^*(N) &\rightarrow H^*(M \times N) \\ (\omega, \eta) &\mapsto [\omega] \times [\eta] := [\pi^*_M \omega \wedge \pi_N^* \eta ] \end{align*}$$ Además, definimos el producto de cuña a través de $$\begin{align*} \wedge : H^*(M) \times H^*(M) &\rightarrow H^*(M) \\ (\omega, \sigma) &\mapsto [\omega] \wedge [\sigma] = [\omega \wedge \sigma] \end{align*}$$

Ahora dada la incrustación diagonal estándar de$M$a través de

$$\begin{align*} \Delta: M &\rightarrow M \times M \\ p &\mapsto (p,p) \end{align*}$$ quiero probar que para$\omega, \eta \in H^*(M)$ $$\omega \wedge \eta = \Delta^* (\omega \times \eta)$$ se mantiene cierto. Esos son mis pensamientos hasta ahora:

$$\begin{align*} (\omega \times \eta) &= (\pi^*_M \omega \wedge \pi^*_M\eta) \\ \Rightarrow \Delta^*(\omega \times \eta) &= \Delta^*(\pi^*_M \omega \wedge \pi^*_M\eta) = \Delta^*(\pi^*_M (\omega \wedge \eta)) \end{align*}$$ Ahora mientras veo eso $$\Delta^*\pi^*_M: \Omega^*(M) \rightarrow \Omega^*(M \times M) \rightarrow \Omega^*(M)$$ Mi pregunta es, si lo anterior es correcto y si es así, ¿por qué? $$\Delta^*\pi^*_M = id_{\Omega^*(M)}$$ se mantiene cierto. Tal vez me estoy perdiendo algo obvio aquí...