Forma cerrada para B=limn→∞∑∞a1=11a21∑a1a2=11a22⋯∑an−1an=11a2nB=limn→∞∑a1=1∞1a12∑a2=1a11a22⋯∑an=1an−11an2B=\lim_{ n\to\infty}\sum_{a_1=1}^{\infty}\frac{1}{a_1^2}\sum_{a_2=1}^{a_1}\frac{1}{a_2^2}\ cdots\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}}\frac{1}{a_n^2}?

Introducción

Este problema me vino a la mente hace unos años cuando aprendí por primera vez sobre los límites y las sumas infinitas. Vi sumas, sumas dobles, sumas triples, etc., pero nunca una suma infinita, básicamente una cadena infinita de símbolos de suma que convergerán en un valor real. Así que construí la siguiente expresión,

Mi pregunta

¿Existe una forma cerrada del siguiente número?

$\textstyle\displaystyle{B=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{a_1=1}^{\infty}\frac{1}{a_1^2}\sum_{a_2=1}^{a_1}\frac{1}{a_2^2}\cdots\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}}\frac{1}{a_n^2}}$

¿O algunas representaciones más fáciles que no involucran esta cadena infinita de símbolos sigma con solo una cantidad finita de índices? ¿Incluso converge?

Detalles y observación

Primero definamos una secuencia doble para la cual convergerá a$B$.

$\textstyle\displaystyle{\Sigma_{m,n}=\sum_{a_1=1}^{n}\frac{1}{a_1^2}\sum_{a_2=1}^{a_1}\frac{1}{a_2^2}\cdots\sum_{a_m=1}^{a_{m-1}}\frac{1}{a_m^2}}$

Entonces,$B=\Sigma_{\infty,\infty}$

Una lista de algunos términos sería

$\Sigma_{1,\infty}$$\textstyle\displaystyle{=\frac{\pi^2}{6}}$

$\Sigma_{2,\infty}$$\textstyle\displaystyle{=\frac{7\pi^4}{360}}$

$\Sigma_{3,100}$$\textstyle\displaystyle{=1.95233691...}$

$\Sigma_{4,36}$$\textstyle\displaystyle{=1.93916539...}$

$\Sigma_{5,28}$$\textstyle\displaystyle{=1.92936096...}$

$\vdots$

No puedo obtener más valores para esto, Wolfram Alpha no funciona.

Darse cuenta de$\Sigma_{m,n}$satisface una relación de recurrencia-

$\textstyle\displaystyle{\Sigma_{m,n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\Sigma_{m-1,k}}{k^2}}$

Dónde,$\Sigma_{0,n}=1$

Esta relación de recurrencia es muy similar a los números hiperarmónicos , solo tiene un factor de$k^{-2}$dentro de la suma y el valor inicial es diferente. Los números hiperarmónicos satisfacen

$\textstyle\displaystyle{H_n^{(r)}=\sum_{k=1}^{n}H_k^{(r-1)}}$

Más allá de esta observación, no tengo ni idea.