¿Por qué cuadrar ambos lados no produce raíces extrañas aquí?

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¿Por qué cuadrar ambos lados no produce raíces extrañas aquí?

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Matemáticas
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tratando de ser bestial

Proceso $1$ :

2 X - 1 = 0

$2x-1=0$

2 X = 1

$2x=1$

X = \frac{1}{2}

$x=\frac{1}{2}$

Proceso $2$ :

2 X - 1 = 0

$2x-1=0$

(2 X - 1)^{2} = 0

$(2x-1)^2=0$

(2 X - 1) (2 X - 1) = 0

$(2x-1)(2x-1)=0$

2 X - 1 = 0

$2x-1=0$

2 X = 1

$2x=1$

X = \frac{1}{2}

$x=\frac{1}{2}$

¿Por qué no obtenemos raíces extrañas en el proceso? $2$ ?

NickD

Estás obteniendo una raíz extra:

x = 1 / 2

$x=1/2$ es una raíz doble de la cuadrática.

Pablo

@NickD, una raíz extraña no es lo mismo que una raíz adicional. Una raíz extraña es aquella que no resuelve la ecuación original.

NickD

La ecuación original tiene una raíz. Si lo elevas al cuadrado, tienes dos raíces: una de ellas es extraña según mi definición, pero YMMV.

usuario247327

Si x= 1 entonces x^2= 1 que tiene dos raíces, 1 y -1. Pero si x=0 entonces x^2= que tiene solo x=1 como raíz.

Respuestas (3)

¿Por qué cuadrar ambos lados no produce raíces extrañas aquí?

Estás obteniendo una raíz extra: $x=1/2$ es una raíz doble de la cuadrática.
@NickD, una raíz extraña no es lo mismo que una raíz adicional. Una raíz extraña es aquella que no resuelve la ecuación original.
La ecuación original tiene una raíz. Si lo elevas al cuadrado, tienes dos raíces: una de ellas es extraña según mi definición, pero YMMV.
Si x= 1 entonces x^2= 1 que tiene dos raíces, 1 y -1. Pero si x=0 entonces x^2= que tiene solo x=1 como raíz.

Pablo · Answer 1

Pablo

No obtienes raíces extrañas porque estás elevando el cero al cuadrado. Solo hay un valor que elevado al cuadrado da cero. Si lo hiciera con un valor distinto de cero, agregaría raíces extrañas, porque habría un segundo número que tiene el mismo cuadrado.

Pablo

@lonestudent ¿qué tiene que ver ese contraejemplo con lo que dije?

Pablo

No tengo idea de lo que estás diciendo. El problema no es que obtengas el mismo valor al elevar al cuadrado; es que no hay otro valor que tenga un cuadrado igual a cero, a diferencia del 1, que tiene 2 valores con el que tiene el cuadrado.

aaaaa dice reincorporar a Monica

@lonestudent

0^{2} = 0

$0^2 = 0$ , pero

(- 1)^{2} = 1

$(-1)^2 = 1$ así como

(+ 1)^{2} = 1

$(+1)^2=1$ Ese es el argumento. Hay 2 números que al elevarlos al cuadrado dan 1

estudiante solitario

@aaa Sí, ahora me queda claro el significado de esta oración: "Si lo hicieras con un valor distinto de cero, agregarías raíces extrañas, porque habría un segundo número que tiene el mismo cuadrado" muy bien.

pedro · Answer 2

Porque las raíces extrañas no se producen necesariamente al elevar al cuadrado ambos lados. Se producen estableciendo una secuencia de implicaciones lógicas en lugar de una secuencia de equivalencias lógicas. Ver ejemplos en esta respuesta .

En tu caso, resulta que

\begin{aligned} 2 X - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2 X = 1 \\ \Leftrightarrow & X = \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} &2x-1=0\\ \Leftrightarrow \quad&2x=1\\ \Leftrightarrow \quad &x=\tfrac{1}{2}\end{aligned}$

así como

\begin{aligned} 2 X - 1 = 0 \\ \overset{*}{\Leftrightarrow} & (2 X - 1)^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & (2 X - 1) (2 X - 1) = 0 \\ \overset{* *}{\Leftrightarrow} & 2 X - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & 2 X = 1 \\ \Leftrightarrow & X = \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{aligned}&2x-1=0\\ \overset{*}\Leftrightarrow \quad&(2x-1)^2=0\\ \Leftrightarrow \quad&(2x-1)(2x-1)=0\\ \overset{**}\Leftrightarrow \quad&2x-1=0\\ \Leftrightarrow \quad&2x=1\\ \Leftrightarrow \quad&x=\tfrac{1}{2}\end{aligned}$

En $*$ nosotros podemos usar " $\Leftrightarrow$ " en lugar de " $\Rightarrow$ " porque $0$ tiene una sola raíz cuadrada.

En $**$ nosotros podemos usar " $\Leftrightarrow$ "sin la restricción $x\neq\frac{1}{2}$ porque $ab=0$ si y si $a=0$ o $b=0$ (es decir, no estamos dividiendo por cero).

Las otras equivalencias son sencillas.

Es el cuadrado de ambos lados lo que produce una implicación lógica en lugar de una equivalencia. $x=y \rightarrow x^2 = y^2$ no es reversible Así que tu primera oración es incorrecta.
@Paul Squaring produce una implicación lógica solo si $y\neq 0$ . Por lo tanto, en general, la cuadratura no produce raíces extrañas.
@Paul, corregí la primera oración. Creo que ahora está más claro.

usuario · Answer 3

Por la propiedad del producto cero tenemos que

A \cdot B = 0 ⟺ A = 0 \lor B = 0

$A\cdot B=0 \iff A=0 \quad \lor \quad B=0$

por lo tanto

(2 X - 1) (2 X - 1) = 0 ⟺ 2 X - 1 = 0 \lor 2 X - 1 = 0 ⟺ 2 X - 1 = 0

$(2x-1)(2x-1)=0 \iff 2x-1=0 \quad \lor \quad 2x-1=0 \iff 2x-1=0$

@Pedro He discutido por qué en este caso no producimos raíces extrañas al elevar al cuadrado, lo que responde a la pregunta planteada. No he discutido cómo se pueden producir raíces extrañas en general.
@lonestudent, usuario Oh, lo siento. Tiene sentido ahora. lo entendí mal Borraré mi comentario anterior.

¿Por qué cuadrar ambos lados no produce raíces extrañas aquí?

tratando de ser bestial

NickD

Pablo

NickD

usuario247327

Respuestas (3)

Pablo

Pablo

Pablo

aaaaa dice reincorporar a Monica

estudiante solitario

pedro

Pablo

pedro

pedro

usuario

estudiante solitario

usuario

pedro

Condición para que las raíces de la cuarta sean reales y dos sean coincidentes

f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

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Un polinomio con una sola intersección real con xxx sin raíces imaginarias tiene una raíz igual a −cn/(ncn−1)−cn/(ncn−1)-c_n/(nc_{n-1}).

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