Suma y producto de raíces de un polinomio

Digamos que tuvimos un$n$ecuación polinomial de grado th$a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$, con$a$siendo coeficiente real. ¿Cuál sería la suma y el producto de sus raíces (en términos de$a$)? Creo que obtuve el producto uno pero no la suma.

para el producto:

Digamos que las raíces del polinomio son$r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n$.

Entonces el polinomio se puede factorizar como:

$a_n(x-\frac{r_1}{a_n})(x-r_2)(x-r_3)\ldots(x-r_n)$

Podemos establecer esto igual al polinomio original:

$a_n(x-\frac{r_1}{a_n})(x-r_2)(x-r_3)\ldots(x-r_n)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$

Compara términos constantes:

$a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$término constante =$a_0$.

$a_n(x-\frac{r_1}{a_n})(x-r_2)(x-r_3)\ldots(x-r_n)$término constante =$(-1)^n*(\frac{r_1}{a_n})*r_2*r_3*\cdots*r_n$

$a_0=(-1)^n*(\frac{r_1}{a_n})*r_2*r_3*\cdots*r_n$

Multiplicar$(-1)^na_n$ambos lados:

$r_1*r_2*r_3*\cdots r_n=(-1)^na_0a_n$

¿Es esto correcto? Además, ¿qué puedo hacer por la suma de las raíces (creo que usamos los coeficientes de$x^{n-1}$)?

EDITAR: JW Tanner ha notado en su comentario que estas son las fórmulas de Vieta , que es exactamente lo que estaba buscando pero no pude encontrar.