Un polinomio con una sola intersección real con xxx sin raíces imaginarias tiene una raíz igual a −cn/(ncn−1)−cn/(ncn−1)-c_n/(nc_{n-1}).

Si tu polinomio tiene solo una raíz real$r$y sin raíces imaginarias, entonces eso significa que la multiplicidad de$r$es$n$.

Por lo tanto, podemos escribir:

$$c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \cdots + c_1 x + c_0 = c_n (x - r)^{n}$$ Al expandir la RHS (usando el teorema del binomio), encontramos que el coeficiente de $x^{n-1}$es $- c_n \cdot n \cdot r$. Entonces, identificándose con el coeficiente de $x^{n-1}$en el LHS, obtenemos $c_{n-1} = - c_n \cdot n \cdot r$.

Entonces$r = -\dfrac{c_{n-1}}{n \cdot c_n}$.