Resolviendo un cubo de aspecto aterrador a mano

Question

Resolviendo un cubo de aspecto aterrador a mano

raíces
cubicos
Matemáticas
polinomios
sistemas de ecuaciones

Qui Gonn Jinn

Encontré esta pregunta en el Resonance Journal of Science Education (edición de abril de 2021). Desafortunadamente, solo está disponible en la copia impresa de la revista. Hay un pequeño poema citado de $The \ Ladies' \ Diary \ 1776$ que plantea el siguiente problema,

$x^2+xy+y^2=1087$

$x^4+x^3y^3+y^4=45777295$

Pude encontrar una ecuación cúbica en xy sustituyendo el valor de $x^4 + y^4$ de la primera ecuación a la segunda ecuación,

$(xy)^3-(xy)^2-2174(xy)-44595726=0$

Ahora la pregunta que tengo es,

¿Es esta la forma correcta de abordar un problema de este tipo? Si no es así, proporcione un enfoque alternativo.
¿Cómo procedo desde aquí? Factoricé en primos el último término en $44595726=2×3×7×17×62459$ , ahora necesito considerar todas las combinaciones posibles de productos de estos factores primos y conectarlos en la ecuación para resolverlos? (Asumiendo, por supuesto, que no había calculadoras ni solucionadores de ecuaciones polinómicas en 1776)

ultraleyenda5385

No muy seguro, pero suponiendo

x

$x$ y

y

$y$ siendo enteros positivos podemos ponerles algunos límites, y probablemente resolver gran parte del problema en el camino.

Pablo

la primera ecuacion es

(x + y)^{2} = 1087 - x y

$(x+y)^2=1087-xy$ , por lo que está buscando cuadrados perfectos menores que 1087. Esto debería restringir

x

$x$ y

y

$y$ bastante.

md2perpe

Prueba la sustitución

m = x + y, n = x - y

$m=x+y,\ n=x-y$ . La primera ecuación se convierte en

3 m^{2} + n^{2} = 4 \times 1087.

$3m^2+n^2=4\times 1087.$ ¿Quizás la segunda ecuación también se simplifica?

Qui Gonn Jinn

@Paul por lo que nos da

x + y \leq 32

$x+y≤32$ desde

33^{2} = 1089

$33^2=1089$ aplicando AM-GM nos dará

x y \leq 256

$xy≤256$ pero la raíz de la cúbica es 357.

md2perpe

La ecuación de @Paul es incorrecta. lo correcto es

(x + y)^{2} = 1087 + x y .

$(x+y)^2=1087+xy.$

Qui Gonn Jinn

@ md2perpe lamentablemente no simplifica tanto como el primero :(

ultraleyenda5385

o algo como

(x - y)^{2} = 1087 - x y

$(x-y)^2=1087-xy$ sería mejor, lo que implica

x - y \leq 32

$x-y\leq 32$ .

Qui Gonn Jinn

@ ultralegend5385 pero esa relación también es incorrecta

Qui Gonn Jinn

Creo que quieres decir

(x - y)^{2} = 1087 - 3 x y

$(x-y)^2=1087-3xy$ pero como no podemos aplicar AM-GM aquí, no nos ayuda directamente con el cúbico

md2perpe

One-liner en Python: [(x,y) for x in range(100) for y in range(100) if x**2+x*y+y**2==1087 and x**4+x**3*y**3+y**4==45777295]Respuesta:[(17, 21), (21, 17)]

Pablo

(x - y)^{2} = 1087 - 3 x y

$(x-y)^2=1087-3xy$ y considerando el texto lo restringirá a 7 posibles valores de

x y

$xy$ , que luego se puede probar en el cúbico. uno de estos es

x y = 357 = 17 \times 21

$xy=357=17\times 21$

Respuestas (3)

Resolviendo un cubo de aspecto aterrador a mano

No muy seguro, pero suponiendo $x$ y $y$ siendo enteros positivos podemos ponerles algunos límites, y probablemente resolver gran parte del problema en el camino.
la primera ecuacion es $(x+y)^2=1087-xy$ , por lo que está buscando cuadrados perfectos menores que 1087. Esto debería restringir $x$ y $y$ bastante.
Prueba la sustitución $m=x+y,\ n=x-y$ . La primera ecuación se convierte en $3m^2+n^2=4\times 1087.$ ¿Quizás la segunda ecuación también se simplifica?
@Paul por lo que nos da $x+y≤32$ desde $33^2=1089$ aplicando AM-GM nos dará $xy≤256$ pero la raíz de la cúbica es 357.
La ecuación de @Paul es incorrecta. lo correcto es $(x+y)^2=1087+xy.$
@ md2perpe lamentablemente no simplifica tanto como el primero :(
o algo como $(x-y)^2=1087-xy$ sería mejor, lo que implica $x-y\leq 32$ .
Creo que quieres decir $(x-y)^2=1087-3xy$ pero como no podemos aplicar AM-GM aquí, no nos ayuda directamente con el cúbico
One-liner en Python: [(x,y) for x in range(100) for y in range(100) if x**2+x*y+y**2==1087 and x**4+x**3*y**3+y**4==45777295]Respuesta:[(17, 21), (21, 17)]
$(x-y)^2=1087-3xy$ y considerando el texto lo restringirá a 7 posibles valores de $xy$ , que luego se puede probar en el cúbico. uno de estos es $xy=357=17\times 21$

Óscar Lanzí · Answer 1

La segunda ecuación que te dan tiene una pista sutil.

Si $x$ y $y$ son grandes, entonces $x^3y^3$ que es el grado 6 domina los otros términos.

Podemos establecer esta dominancia más rigurosamente observando que la primera ecuación dada fuerza $x,y\le32$ . Entonces $x^4+y^4$ No puedes exceder $2×32^4=2097152$ , que es menor que $5$ % del lado derecho de la segunda ecuación, obligando a la $x^3y^3$ término para compensar todo el resto.

Entonces $xy$ debe estar cerca de la raíz cúbica del lado derecho de la segunda ecuación, estando esta raíz entre $300$ y $400$ .

El factor que se ajusta a esta estimación y su producto es $3×7×17=357$ , así que pruebe ese valor para $xy$ .

Asumiendo que $xy=357$ funciona (resolviendo la ecuación cúbica), la primera ecuación da $x^2+y^2=730$ . Entonces el factor mayor debe ser al menos $\sqrt{xy}=\sqrt{357}$ y menos que $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{730}$ . El único factor de $357$ que cae dentro de estos límites es $21$ , entonces los valores de $x$ y $y$ sería (en cualquier orden) $21$ y $357/21=17$ .

+1 en esta respuesta. (Si $x$ es muy pequeño, entonces el término dominante sería $y^4$ , pero en este caso $y\approx80$ , y esto es una tontería ya que $1087 >y^2 \approx 6700$ .)

polvo05 · Answer 2

Desde donde usted señaló, podría reducir los candidatos.

$x$ y $y$ son edades, por lo que son números enteros. $xy \mid 2\times3\times7\times17\times62459$ ; podemos despreciar el factor 62459 ya que las personas no pueden vivir tanto tiempo.

El producto de las edades de dos personas se divide por $2\times 3 \times 7\times 17$ . Por aritmética modular, podemos afirmar que $xy \mid 7$ , $xy \mid 17$ y $xy \not\equiv 1 \pmod3$ . (Esto es algo tedioso de hacer a mano, pero creo que es factible.) Ahora hay tres candidatos para $xy$ ; $2\times 7\times 17$ , $3\times 7\times 17$ o $2\times 3\times 7\times 17$ . La respuesta es $3\times 7 \times 17$ , y sus edades serían $17$ y $21$ . (Técnicamente $(7,51)$ o $(3,119)$ también son posibles.)

(+Editar) Hasta aquí estaba resolviendo la cúbica, pero se dieron más informaciones; con $x^2 + xy + y^2 = 1087$ , $(x+y)^2 = 1087 + 357 = 38^2$ , entonces $0<x+y=38$ y $\{x, y\} = \{17, 21\}$ es fácil.

Esta respuesta no es correcta. Ni siquiera Wolfram Alpha está de acuerdo contigo wolframalpha.com/input/…
Bueno, sí, solo estaba resolviendo el cúbico que da $xy =3\cdot 7 \cdot 17$ , y usando la ecuación dada nos reducimos a exactamente $x, y = 17, 21$ .
Su edición es lo que OP pregunta ¿Cómo supo que tenía que 730? ¿Cómo supo que tenía que producir 38 ^ 2? También informe el estado inverso.
@JitendraSingh OP preguntó si tenemos que examinar todas las combinaciones posibles, y mi respuesta es sobre cómo reducir la cantidad de combinaciones en un conjunto factible de candidatos. Por favor, lea mi publicación de nuevo.
Estoy confundido, ¿cómo escribiste xy|7 y xy|17? ¿Quiso decir 7|xy y 17|xy?
@QuiGonnJinn Esta respuesta es resolver el cubo de aspecto aterrador de $xy$ , por lo que no hay nada que ver con el individuo $x$ y $y$ .
En particular, no puedo seguir "Por aritmética modular, podemos afirmar que xy∣7, xy∣17 y xy≢1(mod3)" ¿cómo llegaste aquí? Sé aritmética modular básica pero no puedo entender tu enfoque
@QuiGonnJinn $\pmod 7$ Por ejemplo. $t^3 - t^2 -2174 t -44595726 \equiv t(t^2 - t +3) \pmod 7$ . $f(t) = t^2-t+3$ tiene valores $f(0), \dots, f(6) = 3, 3, 5, 9, 15, 23, 33$ entonces esto no desaparece mod 7. Así que tenemos $t \equiv 0\pmod 7$ . El cálculo es tedioso pero factible a mano.
"Ahora hay tres candidatos para xy; 2×7×17, 3×7×17 o 2×3×7×17”. No para mí. Poniendo $xy$ incluso representa el polinomio cúbico $\equiv2\bmod4$ . Nos quedamos con el único valor correcto (impar).

Claudio Leibovici · Answer 3

En el año $1776$ , sabían cómo resolver ecuaciones cúbicas (se estudiaron por primera vez en el $11^{\text{th}}$ siglo por Omar Khayyam en Persia).

Entonces, ellos sabían que la única raíz real de

(X y)^{3} - (X y)^{2} - 2174 (X y) - 44595726 = 0

$(xy)^3-(xy)^2-2174(xy)-44595726=0$ es

(x y) = 357

$(xy)=357$ .

Ahora, usando la primera ecuación, tenemos que

(X + y)^{2} = (X^{2} + X y + y^{2}) + X y = 1087 + 357 = 1444 = 38^{2}

$(x+y)^2=(x^2+xy+y^2)+xy=1087+357=1444=38^2$

(X - y)^{2} = (X^{2} + X y + y^{2}) - 3 X y = 1087 - 3 \times 357 = dieciséis = 4^{2}

$(x-y)^2=(x^2+xy+y^2)-3xy=1087-3\times 357=16=4^2$

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Claudio Leibovici

f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

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