¿Existe un polinomio no constante tal que...

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¿Existe un polinomio no constante tal que...

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¿Existe un polinomio no constante? $p$ con coeficientes positivos tal que la función $x \mapsto p(x^2) - p(x)$ es decreciente en el intervalo $[1,+\infty)$ ?

Esta fue una pregunta del examen de análisis de matemáticas del año pasado. La respuesta fue la siguiente:

Para $1\le x \lt y$ y $n \in \Bbb N$ tenemos $y^{2n}-x^{2n} = (y^n+x^n)(y^n-x^n) > y^n - x^n$ , entonces $x \mapsto p(x^2)-p(x)$ es una función estrictamente creciente en $[1,+\infty)$ , para cada $n \in \Bbb N$ . Como el polinomio p tiene coeficientes positivos y no es constante, tal función no existe.

Recientemente comencé esta clase, por lo que tengo dificultades para entender esto. Por que es $y^{2n} - x^{2n}$ para demostrar que la función es creciente? ¿Por qué esto ( $y^{2n}-x^{2n} > y^n - x^n$ ) significa que la función es creciente? ¿Significa que $p(y^{2n})-p(x^{2n}) > p(y)-p(x)$ entonces eso significa $p(y^{2n}) - p(y)- (p(x^{2n})- p(x))>0$ ¿o algo como esto?

Si alguien pudiera explicar la respuesta, ¡sería muy apreciado!

Mateo torres

La respuesta es un poco confusa, pero sugiere que primero intente el caso cuando

p (x) = x^{n}

$p(x)=x^n$ y mira

p (y^{2}) - p (y) - (p (x^{2}) - p (x))

$p(y^2)-p(y)- (p(x^2)-p(x))$ para

y > x

$y>x$ . Su argumento muestra que esto es positivo, por lo que la función

p (x^{2}) - p (x)

$p(x^2)-p(x)$ esta incrementando. Ahora usas el hecho de que si

f

$f$ y

g

$g$ están aumentando y

a, b \geq 0

$a,b\geq 0$ entonces

a f + b g

$af+bg$ es creciente también para obtener el resultado de cualquier polinomio

p

$p$ con coeficientes positivos.

Respuestas (2)

¿Existe un polinomio no constante tal que...

La respuesta es un poco confusa, pero sugiere que primero intente el caso cuando $p(x)=x^n$ y mira $p(y^2)-p(y)- (p(x^2)-p(x))$ para $y>x$ . Su argumento muestra que esto es positivo, por lo que la función $p(x^2)-p(x)$ esta incrementando. Ahora usas el hecho de que si $f$ y $g$ están aumentando y $a,b\geq 0$ entonces $af+bg$ es creciente también para obtener el resultado de cualquier polinomio $p$ con coeficientes positivos.

no usuario · Answer 1

Decir $p(x)=ax^n+...$ y $a\ne 0$ , $n\geq 1$ . Entonces

F (X) = pag (X^{2}) - pag (X) = a X^{2 norte} + . . .

$f(x) = p(x^2)-p(x)=ax^{2n}+...$ Desde

f (x) \sim a x^{2 n}

$f(x)\sim ax^{2n}$ para

x \to \infty

$x\to \infty$ vemos eso

a < 0

$a<0$ ya que es decreciente. Entonces es imposible.

¿Por qué se vota negativamente? ¿Es un simple argumento para ser verdad?
Este argumento es perfectamente válido para polinomios. Para elaborar un poco más, $f(x) = ax^{2n} + g(x)$ dónde $g$ es un polinomio de grado a lo sumo $2n-1$ . Entonces $f'(x) = 2nax^{2n-1}(1 + \frac{g'(x)}{x^{2n-1}})$ . Desde $\frac{g'(x)}{x^{2n-1}} \to 0$ como $x \to \infty$ , obtenemos $f'(x) > 0$ para suficientemente grande $x$ . Esto es cierto siempre que el coeficiente principal de $p$ es positivo. La respuesta dada al OP es (a) complicada y (b) utiliza suposiciones que pueden relajarse, por lo que es menos que óptima.

no se mucho de algebra · Answer 2

Bien, creo que lo entendí, pero todavía no estoy seguro.

digamos que $f(x)= p(x^2)-p(x)$ . Si esta función es decreciente en el intervalo $[1, +\infty)$ , eso significa que si $1\le x < y$ , entonces $f(x) > f(y)$ , eso es, $f(x)-(fy) >0$ .

F (X) - F (y) > 0

$f(x)-f(y) >0$

pag (X^{2}) - pag (X) - pag (y^{2}) + pag (y) > 0

$p(x^2)-p(x) -p(y^2)+p(y)>0$

a_{norte} X^{2 norte} + . . . + a_{1} X^{2} + a_{0} - a_{norte} X^{norte} - . . . - a_{1} X - a_{0} - (a_{norte} y^{2 norte} + . . . + a_{1} y^{2} + a_{0} - a_{norte} y^{norte} - . . . - a_{1} y - a_{0}) > 0

$a_nx^{2n}+...+a_1x^2 + a_0 -a_nx^n-...-a_1x-a_0 - (a_ny^{2n}+...+a_1y^2 + a_0 -a_ny^n-...-a_1y-a_0)>0$

a_{norte} (X^{2 norte} - y^{2 norte} - (X^{norte} - y^{norte})) + . . . + a_{1} (X^{2} - y^{2} - (X - y)) > 0

$a_n(x^{2n}-y^{2n}-(x^n-y^n))+...+a_1(x^2-y^2-(x-y))>0$

Entonces solo demuestro que $x^{2n}-y^{2n}-(x^n-y^n)<0$ , para $1\le x < y$ . Y porqué $a_i$ son todos positivos, esta función no puede ser decreciente.

Estoy bastante seguro de que esta es la prueba de la respuesta. Aún así, ¡gracias por la ayuda a todos!

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no se mucho de algebra

Mateo torres

Respuestas (2)

no usuario

no usuario

hans engler

no se mucho de algebra

f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

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