¿Qué significa f(f(x))=0f(f(x))=0 f(f(x))=0?

$f(f(x)) = (x^3 - x + 1)^3 - (x^3 - x + 1) + 1$.

Resuelve eso$9$polinomio de orden th para$f(f(x)) = 0$.

Aquí hay una trama de$f(f(x))$

$f(f(x))$tiene una sola raíz real en$x = -1.57387$.

Además, aquí hay una trama de$f(x)$:

Su suposición de que hay tres raíces reales de$x^3 - x + 1$es inválido.

¿Ya es suficiente?

Si estabas buscando el significado de$f(fx) =0$, aquí está (espero que sepas lo que significa una función compuesta):

El significado es que los puntos donde$f(f(x))$se evalúa a cero en los puntos donde$f(x)$evalúa a las supuestas raíces$a,b$y$c$. Entonces, básicamente, solo tiene que verificar los valores de$x$por lo que esto se cumple. Como tu función polinomial tiene$a,b$y$c$como sus raíces, solo tienes que encontrar las raíces primero, igualarlas a la función real y encontrar el$x$'s donde la función alcanza esos valores.

Esto es lo mismo que dijo @DavidGStork, pero fue al noveno grado para resolverlo. Eso es todo.

$f(f(x)) = (x^3 - x + 1)^3 - (x^3 - x + 1) + 1 = (x^3-x)^3+1+3(x^3-x)[x^3-x+1]-(x^3-x) = (x^3-x)^3+3(x^3-x)^2+3(x^3-x)-(x^3-x)+1 = (x^3-x)^3+3(x^3-x)^2+2(x^3-x) +1$

pero dado$f(f(x) = 0$entonces$(x^3-x)^3+3(x^3-x)^2+2(x^3-x)+1 = 0$....eq.(1) Poner$x^3-x = y$en la ecuación (1) obtenemos$y^3+3y^2+2y+1 = 0$....eq.(2). Primero, resuelva la ecuación (2) y luego resuelva la ecuación (1).

Significa que aplicas la función dos veces y encuentras los ceros.

la notación$f(x)$significa que tomas la función$f$, aplicarlo a la variable de entrada$x$y recibir alguna salida.$f(f(x))$, entonces, significa que tomas la salida de$f(x)$y aplicar la función$f$lo. Tenga en cuenta que resolver$f(0)$es muy diferente a resolver$f(x) = 0$. Si es el primer caso, está configurando la entrada en cero y encontrando cuál es la salida. En el último caso, está tratando de encontrar la entrada dentro del rango de la variable$x$que produce una salida de$0$.

Si, como en el ejemplo que diste,$f(x) = x^3 - x + 1$, entonces tomarías cada uno de esos$x$s y sustituir en$x^3 - x +1$. Esto nos da la ecuación$f(f(x)) = (x^3 - x + 1) ^3 - (x^3 - x + 1) + 1$, que según Wolfram Alpha, se expande a$y = x^9 - 3 x^7 + 3 x^6 + 3 x^5 - 6 x^4 + x^3 + 3 x^2 - 2 x + 1$.

Entonces,$f(f(0)) = (0^3 - 0 + 1) ^ 3 - (0^3 - 0 + 1) + 1 = 1 ^3 -1 + 1 = 1$. Sin embargo,$f(f(x)) = 0$evalúa a aproximadamente$-1.57387$(junto con ocho raíces complejas, como se esperaría de un polinomio de noveno grado), nuevamente según Wolfram Alpha.

De hecho, si ingresa su ecuación en Wolfram Alpha , puede ver una amplia variedad de información al respecto, incluidos gráficos de sus valores.

Dejar de lado la definición real de$f$, por el momento, y considere dos funciones$p$y$q$: Sabes que$p(q(x))$medios, a saber, evaluar$p$con la entrada$q(x)$.

cuando es cierto que$p(q(x))=0$? Suponer$a_1,a_2,\dots,a_k$son los valores tales que$p(a_i)=0$, para$i=1,2,\dots,k$. Entonces$p(q(x))=0$si y solo si$q(x)=a_i$, para algunos$i$.

En tu caso$p$y$q$son la misma función, pero no es motivo de preocupación.

Hay una sola raíz de$p=f$. En efecto$f'(x)=3x^2-1$, que se desvanece en$-1/\sqrt{3}$y$1/\sqrt{3}$, que son un máximo local y un mínimo local respectivamente. Desde

ahora tienes que resolver la ecuacion$f(x)=a$. Pero eso ya lo sabemos$f$solo asume una vez cada valor negativo, ¿no?

De este modo$f(f(x))=0$tiene una sola solución.

A partir de la respuesta de @Sangam Academy, la única solución real de

Ahora, resolviendo

Rastreé el video de Doubtnut en YouTube de donde proviene su gráfico. (La presentación no está completamente en inglés, pero las matemáticas se entienden lo suficientemente bien). Debe decirse que el polinomio que se discute allí es$\ x^3 - \mathbf{3}x + 1 \ \ ,$así que describiré lo que se está haciendo para resolver ese problema y luego adaptaré el método al polinomio cúbico que se analiza en esta página.

Como se describe en algunas de las otras publicaciones, para preguntar por los valores de$\ x \ $en el cual$\ f( \ f(x) \ ) \ = \ 0 \ \ $es buscar aquellos valores (como los que pueden existir ) en los que$\ f(x) \ $es igual a cualquiera de los ceros de$\ f(x) \ \ .$Esto es para decir que si$\ r \ $es un cero de la función, por lo que$\ f(r) \ = \ 0 \ \ ,$entonces el valor, digamos,$\ x = a \ \ ,$para cual$\ f(a) \ = \ r \ \ $es uno por el cual$\ f( \ f(a) \ ) \ = \ f(r) \ = \ 0 \ \ .$

En general, para la mayoría de las funciones, resolver analíticamente los ceros de una composición de dos funciones, o una autocomposición en este problema, puede ser muy difícil o imposible; normalmente nos encontraríamos usando una ayuda computacional. Como solo se nos pide encontrar el número de ceros reales de$\ f( \ f(x) \ ) \ \ ,$podemos recurrir a una técnica gráfica; pero para eso, necesitaremos un gráfico de$\ f(x) \ \ .$

Lo que se está haciendo en la primera mitad del video es construir este gráfico necesario. (El hecho de que esto se esté haciendo, en lugar de simplemente obtener un gráfico de una utilidad de computadora o una fuente en línea, me lleva a sospechar que se trata de un problema de "matemáticas de concurso", por lo que no habría ningún dispositivo disponible). El primero ecuación derivada$\ f'(x) \ = \ 3x^2 - 3 \ = \ 0 \ \ $se utiliza para encontrar los extremos locales ("puntos de inflexión") de la curva de la función,$\ x = \pm 1 \ \ ,$y luego se evalúa la función para obtener$\ f(-1) \ = \ 3 \ $y$\ f(1) \ = \ -1 \ \ .$A partir de nuestra familiaridad con las gráficas de polinomios (y cúbicas en particular) y un poco de ayuda del teorema del valor intermedio, el presentador esboza una versión de lo siguiente.

Esta gráfica se utiliza para obtener el número y valores aproximados de los ceros de$\ f(x) \ \ .$Se observa que hay tres ceros:$\ a \ \ ,$"en algún lugar entre -1 y -2",$\ b \ \ ,$"entre 0 y 1", y$\ c \ \ $"en algún lugar entre 1 y 2". (Este enfoque generalmente no requiere una ubicación de alta precisión de los ceros).

Luego, el presentador dibuja tres "líneas de nivel" en$\ y = a \ , y = b \ , \ $y$\ y = c \ \ ,$y luego mira las intersecciones de estas líneas con la gráfica de$\ f(x) \ \ .$Realmente no nos importa lo que$\ x-$Las coordenadas de esos puntos de intersección son: solo queremos contarlos. Encontramos que hay un valor de$\ x \ $($\ \approx -2.1 \ \ ;$llámalo$\ x_1 \ $por el momento) en el que$\ f(x) = a \ \ ,$entonces$\ f( \ f(x_1) \ ) \ = \ f(a) \ = \ 0 \ \ .$Hay tres puntos de intersección para$\ f(x) \ = \ b \ $y tres mas para$\ f(x) \ = \ c \ \ ,$por lo que podemos concluir que hay siete valores reales de$\ x \ $para cual$\ f( \ f(x) \ ) \ = \ 0 \ \ $(y está claro en el gráfico que hay todos distintos ). [El presentador aparentemente se olvida de tratar con$\ f(x) \ = \ c \ \ $y así llega a un total de cuatro, que se comenta en los comentarios del video.]

Si aplicamos este procedimiento a$\ x^3 - x + 1 \ \ ,$la ecuación de la primera derivada se convierte en$\ f'(x) \ = \ 3x^2 - 1 \ = \ 0 \ \ ,$indicando que los valores extremos locales son$\ f \left(-\frac{1}{\sqrt3} \right) \ = \ 1 + \ \frac{2}{3\sqrt3} \ \ $y$\ f \left(\frac{1}{\sqrt3} \right) \ = \ 1 - \ \frac{2}{3\sqrt3} \ > 0 \ \ .$[Esto se nota en varias de las otras respuestas publicadas.] Para el análisis gráfico, esto significa que la curva para$\ f(x) \ $se cruza con el$\ x-$eje solo una vez "en algún lugar entre -1 y -2". Dibujar en la línea de nivel apropiada esta vez produce solo una intersección con la curva de la función, por lo que solo hay un valor real de$\ x \ \approx \ -1.6 \ \ $aquí por lo que$\ f( \ f(x) \ ) \ = \ 0 \ \ .$