Explique cómo construir un círculo internamente tangente a un círculo más grande y tangente a un punto en una cuerda del círculo más grande.

Los centros de los círculos pequeños se encuentran en un círculo de radio$(R - r)$, y por lo tanto se puede expresar como

$C = (R - r) (\cos \phi, \sin \phi)$

La cuerda está especificada por los puntos conocidos.$A$y$B$por lo que tiene la ecuación paramétrica:

$q(t) = v_0 + t v_1$

dónde$v_0 = A$y$v_1 = (B - A)$y$t \in [0, 1]$

Dado que la distancia entre el centro$C$y el acorde es$r$, podemos encontrar un vector ortogonal para$v_1$, llamémoslo$v_2$, tal que

$v_2 \cdot v_1 = 0$

Es trivial construir$v_2$de$v_1$, a saber,

$v_2 = (v_{1y} , -v_{1x} ) = (B_y - A_y, A_x - B_x )$

Ahora, queremos resolver la ecuación:

$(C - A) \cdot v_2 = \pm r | v_2 |$

enchufando$C$,$A$y$v_2$, la ecuación anterior se convierte en:

$((R - r) \cos \phi - A_x) (B_y - A_y) + ((R-r) \sin \phi - A_y) (A_x - B_x) = \pm r L$

dónde$L = \sqrt{ (A_x - B_x)^2 + (A_y - B_y)^2 }$es igual a la longitud de la cuerda$AB$.

Esta ecuación tiene cuatro soluciones, con dos soluciones correspondientes al caso cuando el lado derecho se toma con$(+r)$, y otras dos soluciones correspondientes al caso en que se toma el lado derecho con$(-r)$

Deja que el centro$O \, (x_0, y_0)$ser el centro del círculo grande. el determinante

$$S = \det\left( \begin{bmatrix}x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1\\ x_O & y_O & 1 \end{bmatrix}\right)$$ es el doble del área con signo del triángulo$P_A P_B O$y $$|P_B - P_A| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \,}$$ es la distancia entre los puntos$P_A$y$P_B$. Entonces, la distancia de$O$a la secante determinada por los puntos$P_A$y$P_B$es $$h = \frac{|S|}{|P_B - P_A|}$$ Dejar$l$sea ​​la recta paralela a la secante$P_A \, P_B$que pasa por el centro$O$. Como el círculo pequeño es tangente al círculo grande y la secante$P_A \, P_B$, la distancia del centro$X$del círculo pequeño para$P_A \, P_B$es$r$. Por lo tanto, la distancia del centro$X$a la linea paralela$l$es$|r\pm h|$. Además, la distancia entre$X$y$O$es$R - r$. Por lo tanto, podemos escribir la posición de$X$como sigue $$X \, = \, O\, +\, \sqrt{(R-r)^2 - (r \pm h)^2\,} \, \frac{P_B - P_A}{|P_B - P_B|} \, + \, |r \pm h| \, \frac{(P_B - P_A)^{\perp}}{|P_B - P_B|}$$ o por componentes

$$\begin{align} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} \, =\, \begin{bmatrix}x_O \\ y_O \end{bmatrix} \, + \, \frac{\sqrt{(R-r)^2 - (r \pm h)^2\,}}{|P_B - P_B|} \begin{bmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{bmatrix} \, + \, \frac{|r \pm h|}{|P_B - P_B|} \begin{bmatrix}- y_B + y_A \\ x_B - x_A \end{bmatrix} \end{align}$$

Damos a continuación la construcción geométrica, que le da los círculos requeridos. Por cierto, esto no es más que una versión pictórica de la respuesta publicada por @GeometryLover, que describe la misma solución usando trigonometría y álgebra.

Denotemos el centro de los círculos exterior e interior como$O$. Dibujamos una perpendicular a la secante dada$AB$en un punto arbitrario, digamos$C$. En esta perpendicular, marcamos puntos$E$y$G$, tal que$EC = CG = r$. A continuación, dibujamos dos líneas.$ED$y$GF$, ambos paralelos a$AB$. Finalmente, dibujamos el círculo que tiene su centro en$O$, cuyo radio es igual a$R-r$. Este círculo corta la línea$ED$en$P_1$y$P_3$y línea$GF$en$P_2$y$P_4$respectivamente.

Como se muestra en la figura, los dos círculos de radio$r$dibujadas con sus respectivos centros en$P_1$,$P_2$,$P_3$, y$P_4$toca la recta secante$AB$mientras que externamente tangencial al círculo interno e internamente tangencial al círculo externo también.

Usando geometría de coordenadas y trigonometría, se puede demostrar que

$$P_1N=\left(R-r\right)\sin\left(\omega\right)\quad\text{and}\quad NO=\left(R-r\right)\cos\left(\omega\right)\quad\text{where}$$

$$\omega = 180^o - \tan^{-1}\left(\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{\Biggl| x_A – y_A\left(\frac{ x_B – x_A }{ y_B – y_A }\right)\Biggr|\sin\left[\tan^{-1}\left(\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\right)\right]+r}{R-r}\right).$$