Círculo dentro de la cometa dentro de un círculo más grande

Los puntos$O,P,Q,R$acuéstese en un círculo como se muestra en el diagrama a continuación.$OQ$es un diámetro del círculo. los cuatro puntos$O,P,Q,R$son también los vértices de una cometa,$K$.

Relativo al origen$O$, las coordenadas de$P$y$Q$son$(1,2,-1)$y$(2,1,-2)$respectivamente.

Un segundo círculo,$C_1$, se dibuja dentro$K$, tal que los cuatro lados de$K$son tangentes a$C_1$. Encuentre el radio de$C_1$. Da la respuesta en el formulario$(\sqrt{2}-1)\sqrt{n}$, dónde$n\in\Bbb{N}$.

Mis pensamientos:

Yo creo$R$tiene coordenadas$\left(\dfrac{5}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{5}{3}\right)$. Encontré esto al encontrar el punto.$S$en la línea$OQ$tal que$PS$es perpendicular a$OQ$. Este punto$S$es$\dfrac{2}{3}$del camino a lo largo$OQ$.

Sé que las longitudes$OQ=3$y$PR=\dfrac{2}{3}\sqrt{17}$, entonces el área de la cometa de$\sqrt{17}$.

También sé que el triángulo$POR$es isósceles (ambos$OP$y$OR$son$\sqrt{6}$), ambos$OPQ$y$ORQ$son triángulos rectángulos (ya que$OQ$es un diámetro del círculo), y puedo encontrar los ángulos en estos triángulos.

Creo que probablemente haya una solución de fuerza bruta que implique encontrar el plano en el que se encuentra el círculo, calcular los gradientes de los lados de la cometa en este plano y luego usar el hecho de que las tangentes a$C_1$encontrar el radio en$90^{\circ}$, pero seguramente debe haber una solución más elegante.

¿Alguien puede darme una pista?