Encontrar un ángulo faltante en la imagen que contiene un hexágono regular y un cuadrado

Dejar$I$Sea un centro de hexágono. Entonces$HG = ID$y son paralelos, entonces$IDGH$es un paralelogramo entonces$K$es también el punto medio de$GI$, de este modo$G,K,I$son colineales.

Desde$GEI$es triangulo isosceles y$\angle GEI = 150^{\circ}$tenemos$\theta = 15^{\circ}$.

Incluso sin geometría pura, el trabajo puede simplificarse. Además, vea mi edición al final para una solución sintética.

$\angle PBC = \angle AFQ = 30^\circ$

Si la longitud del lado es$a$,$PC = GQ = \frac{a}{2}$

Entonces,$PF = HQ = \frac{3a}{2}$

Similarmente,$PH = FQ = a + \frac{a \sqrt3}{2}$

Dado$M$es el punto medio de$FH$,

$MN = a - \frac{HQ}{2} = \frac{a}{4}$

$GN = \frac{FQ}{2} = \frac{a (2 + \sqrt3)}{4}$

$\tan \theta = \frac{1}{2 + \sqrt3} = 2 - \sqrt3 \implies \theta = 15^0$

Solución sintética (usando una construcción similar a la anterior):

Dado$M$es el punto medio de$HF$, también es el centro del rectángulo$HPFQ$y por lo tanto de rectángulo$GIJK$.

También tenga en cuenta$J$es el centro del hexágono.

Entonces,$\triangle FAJ$es un triangulo equilatero.

$\angle JAK = 30^\circ$.

En$\triangle GAJ$,$AG = AJ$

$\therefore \angle AGM = \angle AJM = 15^\circ$