¿Una simple derivación de la fórmula de aceleración centrípeta?

Imagine un objeto que recorre constantemente un círculo de radio$r$centrada en el origen. Su posición se puede representar mediante un vector de longitud constante que cambia de ángulo. La distancia total recorrida en un ciclo es$2\pi r$. Esta es también la cantidad acumulada por la cual ha cambiado la posición.

Ahora considere el vector de velocidad de este objeto: también puede ser representado por un vector de longitud constante que cambia constantemente de dirección. Este vector tiene una longitud$v$, por lo que el cambio acumulado en la velocidad es$2 \pi v$.

Entonces la magnitud de la aceleración es$\frac{\text{change in velocity}}{\text{elapsed time}}$, que podemos escribir como:

$$a = \frac{2 \pi v}{\left(\frac{2\pi r}{v} \right)} = \frac{v^2}{r} \,.$$

QED

---

Aparte: esa derivación se usa en muchos libros de texto basados ​​​​en álgebra / trigonometría.

En el triángulo rectángulo ABC

$$\begin{equation} \dfrac{|\dfrac{\Delta \mathbf{\vec v}}{2}|}{|\vec V|}=Sin\dfrac{\Delta \vec \theta}{2} \tag{01} \end{equation}$$ Si $$\begin{equation} \theta \tag{02} \end{equation}$$ es pequeño $$\begin{equation} v(t) \approx v(t + \delta t ) = \mathbf{\vec v} \tag{03} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{|\dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{2}|}{|\vec V|}=Sin\dfrac{\delta \vec \theta}{2} \tag{03} \end{equation}$$ Para ángulo pequeño $$\begin{equation} \delta \theta \approx Sin {\delta \theta} \tag{04} \end{equation}$$ Así que al reorganizar $$\begin{equation} \dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{2} =\dfrac{\delta \vec \theta}{2} \times \vec v \tag{05} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \delta \mathbf{\vec v} =\delta \vec \theta \times \vec v \tag{06} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{\delta \mathbf{t}} =\dfrac{\delta \vec \theta}{\delta \mathbf{t}} \times \vec v \tag{07} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{\vec a}=\dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{\delta \mathbf{t}} \tag{08} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \vec \omega =\dfrac{\delta \vec \theta}{\delta \mathbf{t}} \tag{09} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{\vec a}=\vec \omega \times \vec v \tag{10} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{a}=\omega \times v \tag{11} \end{equation}$$ Y desde $$\begin{equation} \mathbf{v}=\omega \times r \tag{12} \end{equation}$$ Entonces $$\begin{equation} \mathbf{a}=\dfrac {v^{2}}{\mathbf{r}} \tag{13} \end{equation}$$

Puede hacer esta derivación dividiendo la posición de la partícula en órbita en componentes. No es corto, pero creo que es útil porque complementa el álgebra con analogías físicas concretas. Lo organizaré en cuatro partes: descomposición , oscilación , energía y simetría .

Descomposición

La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular puede describirse mediante dos ondas sinusoidales medio desfasadas, o de manera equivalente, una onda sinusoidal y una onda coseno:

_{( vía )}

Esto es fácil de deducir: suponga que la partícula se mueve a una velocidad angular constante$\omega$alrededor de un círculo de radio$r$. Entonces$\theta = \omega t$, y la trigonometría básica nos dice que la posición de la partícula dada$\theta$es dado por$x = r \cos \theta$y$y = r \sin \theta$. Podemos sustituir para obtener$x = r \cos (\omega t)$y$y = r \sin (\omega t)$.

Oscilación

Resulta que hay otro tipo de movimiento que se describe mediante ondas sinusoidales: la oscilación de un peso sobre un resorte . En tal sistema,

$$x(t) =A \cos \left(\sqrt{k \over m}t \right)$$

dónde$A$es la amplitud (es decir, la diferencia entre la longitud máxima del resorte y su longitud de reposo),$k$es la constante de fuerza del resorte, de la ley de Hooke, y$m$es, por supuesto, la masa. Deducir esta ecuación de la manera habitual requiere no solo cálculo, sino también ecuaciones diferenciales, así que les pediré que confíen en mi palabra hasta un poco más tarde.

Para nuestros propósitos, esto significa que la mecánica de la partícula en órbita puede simularse mediante dos resortes oscilantes: uno para el$x$componente, y uno para el$y$componente idéntico al primero, pero medio desfasado con él. Para imaginar cómo se ve esto, mira la animación de arriba y finge que el punto azul y el punto rojo están unidos a resortes que están en$0$al descansar

Ahora que tenemos este modelo basado en un resorte, podemos usarlo para determinar la fuerza que se aplica a la partícula a lo largo del$x$¡eje! Por la ley de Hooke , la fuerza que ejerce un resorte sobre un peso fijo es$F = -kx$. Tratemos de usar esa fórmula para determinar la aceleración de la partícula cuando la$x$el resorte está en su longitud máxima. Sabemos que su longitud máxima será$r$en este caso -- esto corresponde al momento en que la partícula está en$x = r, y = 0$. Y sabemos que$F = ma$. Entonces, por sustitución,$ma = -kr$; dividido por$m$, y

$$a = -k \frac{r}{m}$$

Nuestro trabajo está a medio hacer. Pero ahora tenemos un nuevo problema: no sabemos qué$k$es... después de todo, no hay un resorte real, así que no podemos medir nada. Necesitamos saber qué valor de$k$tendrá un resorte si se mueve de la misma manera que la partícula a lo largo de la$x$eje. Para resolver este problema, tenemos que empezar a pensar en leyes de conservación.

Energía

Pensemos en lo que sucede cuando el$x$el resorte oscila. Cuando la primavera está en$x = r$, ejerce la fuerza más grande sobre la partícula, pero la partícula no se mueve en absoluto. Esto está justo en el pico de la ola. Eso significa$v = 0$. Desde ese punto, la fuerza que el resorte aplica a la partícula la acelerará desde$0$a su mayor velocidad$-v_\text{max}$. ¹ Y para cuando la partícula alcanza$x = 0$, el resorte no aplicará fuerza; ese es el estado de reposo del manantial. Como el resorte no aplica fuerza, hemos llegado$-v_\text{max}$-- la dirección de la aceleración futura será en la dirección opuesta, ralentizando la partícula hasta que alcance$x = -r$.

Entonces esto significa que en$x = r$, tenemos$F = -F_\text{max}$,$a = -a_\text{max}$, y$v = 0$. y en$x = 0$, tenemos$F = 0$,$a = 0$, y$v = -v_\text{max}$.

Esto es lo que está sucediendo: la energía en el sistema se mueve de un lado a otro entre la energía cinética máxima (en$x = 0$cuando el resorte no está estirado ni comprimido en absoluto) y la energía potencial máxima (en$x = r$, cuando el resorte está completamente estirado). Y debido a la conservación de la energía, estos dos máximos deben ser iguales; en otras palabras,$E_\text{max}$=$P_\text{max}$.

La fórmula de la energía cinética es$E = \frac{1}{2} mv^2$-- esa es la mecánica newtoniana básica. ¿Cuál es la fórmula para$P$¿en este caso? Esta es la parte más difícil de la derivación. La energía potencial almacenada en el resorte es igual a la cantidad de trabajo negativo realizado para estirarlo hasta$x = r$. Así que tenemos que recordar la fórmula para el trabajo:$W = Fd$, dónde$d$representa la distancia recorrida, es decir$x$, suponiendo que comenzamos en$x = 0$. Pero entonces tenemos un problema.$F = -kx$no es constante, es una función de$x$.

En general, esto significaría que tenemos que hacer cálculos. Pero por suerte,$F = -kx$es una función lineal, por lo que el valor que queremos es igual al área del triángulo formado por el$x$eje y la linea$F = -kx$:

( vía )

En el cuadro anterior,$k = 1$, la distancia recorrida$d = x_\text{max} = 1$, y el área del triángulo dado representa el valor que obtienes cuando multiplicas$F(x)$por la distancia recorrida, ajustando los cambios en el valor de$F$medida que aumenta la distancia. Pero como la altura del triángulo es$-kx_\text{max}$y la base del triangulo es$x_\text{max}$, solo podemos usar geometría simple y antigua. el area de un triangulo es$\rm \frac{1}{2} base \times height$-- o, aquí, porque$x_\text{max} = r$

$$W = -\frac{1}{2} kr^2$$

Y como la energía potencial es igual al trabajo negativo :

$$P = \frac{1}{2} kr^2$$

¿No es interesante lo similar que es a$E = \frac{1}{2} mv^2$? Si piensas en eso por un momento, y consideras que$E + P$tiene que ser un valor constante, ¡podría comenzar a darse cuenta de por qué un resorte oscilante sigue una trayectoria sinusoidal! (Pista: escribe la fórmula para un círculo, pero usa$\sqrt{E + P}$en lugar de$r$, y$v$en lugar de$y$.)

Pero puedes volver a eso más tarde. ¡Estaban muy cerca! Configuración$v = v_\text{max}$:

$$E + P = E_\text{max} = P_\text{max} = \frac{1}{2} kr^2 = \frac{1}{2} mv^2$$

¿Qué sucede cuando resolvemos para$k$?

$$\begin{align}\frac{1}{2} kr^2 &= \frac{1}{2} mv^2\\ \implies kr^2 &= mv^2\\ \implies k &= \frac{mv^2}{r^2}\end{align}$$

Ahora podemos sustituir eso en nuestra fórmula para la aceleración anterior:

$$\begin{align}a &= -k \frac{r}{m}\\ &= -\frac{mv^2}{r^2} \frac{r}{m}\\ &= -\frac{v^2}{r}\end{align}$$

Quizás se pregunte por qué aparece el signo negativo en esta versión. Pero recuerda que la aceleración es técnicamente en la dirección opuesta al desplazamiento. Así que cuando$x = r, y = 0$, la aceleración es en la dirección de$-r$. ¡Si fuera de otra manera, la partícula estaría acelerando hacia afuera! ²

Simetría

El último paso de esta derivación requiere un truco. Comenzamos rompiendo el movimiento en dos dimensiones en movimiento a lo largo de dos componentes unidimensionales. Luego usamos resortes imaginarios para describir el movimiento de la partícula a lo largo de esos dos componentes. Y ahora, nos enfrentamos a una pregunta final: ¿cómo elegimos nuestro$x$y$y$componentes?

Deben estar en ángulo recto entre sí, pero eso es solo la mitad de la batalla: tenemos que encontrar el "lugar correcto" para comenzar, el "verdadero"$x$coordinar. El problema es que no podemos. La trayectoria circular a lo largo de la cual se mueve la partícula es rotacionalmente simétrica. No hay nada en el círculo que nos diga dónde "comienza" o "termina".

Esto significa que la línea de razonamiento anterior se mantiene sin importar dónde comencemos. Podemos elegir cualquier punto en el círculo como el$x=1, y=0$punto, y lo anterior será válido. Entonces, donde sea que esté la partícula, simplemente establecemos ese punto como nuestro$x = r, y = 0$punto, y todo lo demás cae en su lugar.

Si quisiéramos hacer más trabajo para nosotros mismos, podríamos resolver los detalles trigonométricamente, usando las fórmulas anteriores, ajustándolas para el$y$eje, y luego recombinando el$x$y$y$valores utilizando álgebra vectorial. Pero no necesitamos hacerlo, el argumento de la simetría es más poderoso en este caso.

^{1. Aquí "más grande" realmente significa "más negativo", porque la partícula se mueve en sentido negativo.$x$dirección. Estos valores serán realmente$-F_\text{max}$y$-v_\text{max}$. Posteriormente, cuando la partícula se mueva en sentido contrario, estos valores serán positivos.}

^{2. Dar sentido a las señales requiere mucho trabajo de detalles sutiles; en particular, debe comprender por qué el trabajo negativo se convierte en energía potencial positiva. También ayuda pensar en$r$como un vector (que tiene una dirección) en lugar de una magnitud (que no la tiene). Afortunadamente, la intuición física brinda una guía confiable en este caso; si algo resulta obviamente incorrecto, vuelva a verificar su forma de pensar.}

Para moverse a través de un camino cóncavo, un agente tiene que impartir fuerza a un objeto que de otro modo se movería linealmente. El objeto, en virtud de su movimiento, en ausencia de cualquier fuerza externa, siempre viaja o tiende a viajar en la dirección del vector velocidad en el instante en cuestión.

Entonces, cuando el objeto tiene que atravesar una trayectoria curva, el requisito principal es la introducción de una fuerza que manipule la dirección de la velocidad de modo que el lugar geométrico resultante sea la trayectoria curvilínea requerida; de lo contrario, el objeto viajaría en línea recta.

La dirección de la fuerza es evidentemente la dirección de la aceleración o el límite de cambio de velocidad con respecto al tiempo. Entonces, para encontrar la dirección, pensemos en una situación infinitesimal.

Deje por un corto período de tiempo$\Delta t$, la distancia recorrida es$v(t)\Delta t$a lo largo de un arco circular de radio$r$. El ángulo recorrido es entonces

$$\Delta\theta = \dfrac{v(t) \Delta t}{r}$$ .

Imagina la bisectriz del ángulo. Ahora, considere los cambios en la velocidad paralela y perpendicular a esta bisectriz. Inicialmente la velocidad tiene una componente$v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$lejos del centro y$v\cos(\frac{\Delta\theta}{2})$transversalmente.Después, tiene un componente$v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$ hacia el centro &$v\cos(\frac{\Delta\theta}{2})$transversalmente como antes. Por lo tanto, el cambio de velocidad es de magnitud$2v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$hacia el centro del arco.

Como$\Delta\theta$es evanescentemente pequeño,$\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$se vuelve indistinguible como$\dfrac{\Delta\theta}{2}$. Así, podemos poner

$$|\Delta v(t)| = v^2 \dfrac{\Delta\theta}{r}$$ . Y la dirección es hacia el centro. Por lo tanto, la fuerza gira el vector de posición a lo largo de la trayectoria curva y el cambio es radial hacia adentro, independientemente de si se traza en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario.

---

La imagen se vuelve más vívida si calculamos usando coordenadas polares.

Primero, escribimos el vector de posición como$\mathbf{r} = r\cdot \mathbf e_r$. Ahora considere el cambio de$\mathbf{r}$con tiempo. Su cambio durante$\Delta t$es$r\Delta\theta \cdot \mathbf e_{\theta}$.$e_r \, \textrm{and} \, e_{\theta}$son mutuamente perpendiculares, siendo el primero hacia afuera radialmente desde el centro. Por lo tanto la velocidad es

$$\mathbf v = \dfrac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt} = r\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\cdot \mathbf e_{\theta} = \omega r \cdot \mathbf e_{\theta}$$ .

Poniendo$r = 1$, obtenemos

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_r) = \omega \mathbf e_{\theta}\;.$$

Del mismo modo, un cambio de$\theta$implica un cambio de$\mathbf e_{\theta}$.Puede observarse que

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_{\theta}) = -\omega \cdot \mathbf e_r\;.$$ Ahora diferenciamos la velocidad, $$\mathbf{a} = \omega r \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_{\theta}) = -{\omega}^2 r\cdot \mathbf e_r \;.$$ Este resultado cae automáticamente con la dirección correcta que es opuesta a $\mathbf e_r$es decir, hacia el centro radialmente.