¿Por qué estamos multiplicando v por v/r para obtener la aceleración?

En esta respuesta a la pregunta "Explicación intuitiva de por qué la aceleración centrípeta es$(v_T)2/r$": https://physics.stackexchange.com/a/190532/262601 (se adjunta un extracto de la respuesta a continuación), no entiendo por qué "multiplicamos la longitud del vector de velocidad por v/r, tal como antes , para obtener la aceleración". Entiendo por qué multiplicamos el vector de posición, r, por v/r para obtener el vector de velocidad, v: r(v/r) = v. Sin embargo, no entiendo por qué estamos multiplicando v por v/r para obtener la aceleración.

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Un punto se mueve alrededor de un círculo. Tiene un vector de posición azul y un vector de velocidad rojo, así:

El vector de posición mantiene la misma longitud y gira una y otra vez en un círculo. Debido a que el vector de posición está cambiando, tiene una derivada. Esa derivada es la velocidad.

Debido a que siempre vamos a la misma velocidad, el vector de velocidad también se mantiene de la misma longitud. Debido a que la velocidad siempre gira 90 grados desde la posición, la velocidad también gira en un círculo. En otras palabras, el vector de velocidad está haciendo exactamente lo mismo que el vector de posición; girando y permaneciendo de longitud constante. La única diferencia entre la posición y la velocidad es que rotamos 90 grados y multiplicamos la longitud por v/r.

(Nota: no importa dónde dibujemos un vector; no importa dónde lo dibujemos, el vector es el mismo. Dibujamos el vector de velocidad al final del vector de posición, por lo que parece que el vector de velocidad se mueve en espacio. Ese no es el punto. Podemos volver a dibujar el vector de velocidad para que también comience en el origen y luego no se mueva en absoluto. Lo que importa es solo la magnitud y la dirección. El vector de velocidad, incluso si hacemos siempre comienza en el origen, gira en un círculo a la misma velocidad que el vector de posición porque siempre están separados por 90 grados, por lo que el vector de velocidad realmente se ve como un nuevo vector de posición, solo que con una magnitud diferente y una dirección de 90 grados adelante).

La aceleración es la derivada de la velocidad, y sabemos cómo sacar la derivada. Como la velocidad está haciendo exactamente lo mismo que la posición, podemos obtener la derivada de la velocidad exactamente de la misma manera que lo hicimos con la posición.

Giramos la velocidad 90 grados y obtenemos un vector que apunta hacia el centro del círculo. Esa es la dirección de la aceleración. A continuación, multiplicamos la longitud del vector de velocidad por v/r, igual que antes, para obtener la aceleración, que es v∗v/r=v^{2}/r .