Expansiones decimales y conectividad topológica

Estoy un poco confundido por la siguiente nota a pie de página de Notes on Set Theory de Moschovakis , p. 135fn24 (en la nota,$\mathcal{N}$denota el espacio de Baire). La parte desconcertante está en negrita:

Uno puede pensar en$\mathcal{N}$como una versión "discreta", "digital" o "combinatoria" de la versión "continua" o "analógica"$\mathbb{R}$. un numero real$x$está completamente determinado por una expansión decimal$x(0), x(1), x(2), \dots$, dónde ($n \mapsto x(n)) \in \mathcal{N}$, pero dos expansiones decimales distintas pueden calcular el mismo número real. Este es un gran "pero", es el hecho clave detrás de la llamada conexión topológica de la línea real que es de interés en el análisis , sin duda, pero de poca consecuencia teórica. Podemos ver el espacio de Baire como una "versión digital" de$\mathbb{R}$porque no hace tales identificaciones, cada punto$x \in \mathcal{N}$determina inequívocamente sus "dígitos"$x(0), x(1), \dots$.

No entiendo la parte en negrita. ¿Cuál es la relación entre el hecho de que algunos números reales tienen dos desarrollos decimales distintos y la conexión topológica? ¿Alguien tiene alguna pista sobre el pensamiento detrás de la cita?